2. Устранимость обозримых противоречий

Как мы выяснили, противоречие в системе аксиом может содержаться в одной из следующих форм: 1.

Явное противоречие, представимое в форме «А и не-А». 2.

Слабо скрытое противоречие вида А и В, где из В и из аксиом (исключая А) выводится не-А. 3.

Существенно скрытое противоречие, предполагающее для некоторой аксиомы А существование теоремы в пределах определяющего фрагмента, которая требует допущения не-А 4.

Глубоко скрытое противоречие, не выявляемое в пределах определяющего слоя теории. 5.

Недостижимое противоречие, не выявляемое практически осуществимым развертыванием теории.

Очевидно, что явные противоречия находятся в сфере практической устранимости и что становление аксиоматики является вместе с тем и полным устранением противоречий этого вида.

Из соображений об элементарности аксиоматики следует, что второй случай противоречивости практически равнозначен первому, ибо все простые аналоги аксиомы А выявляются вместе с самой аксиомой уже на начальном этапе развития теории. Как аксиома или как часть аксиомы утверждение В не может быть связано со сложными производными понятиями. Но это значит, что выведение из В отрицания А не может представлять из себя, проблемы с точки зрения математической практики. Слабо скрытая противоречивость устраняется из математической теории на самых ранних этапах ее систематизации. Нельзя себе представить становления какой-либо системы аксиом без одновременного выявления элементарных аналогов каждой из них.

Этот аргумент имеет, конечно, внелогический характер.

Это различие между возможностями теоретического и практического разрешения вопроса представляется принципиально важным для проблемы обоснования математики. Наши рассуждения о проблемах обоснования могут быть существенно продвинуты вперед, если мы уйдем от рассмотрения этих проблем только в свете чисто логических возможностей их разрешения и учтем практические критерии математического сообщества, обладающие надежностью. В наших дальнейших рассуждениях мы будем считать математическое сообщество абсолютно критериальным и не будем подвергать сомнению его способность к полному устранению противоречий, лежащих в сфере его практической достижимости.