<<
>>

2. Понятие онтологически истинной математики

Понятие истины в математике является достаточно сложным. Мы должны отделять друг от друга, по крайней мере, пять значений этого понятия, которые так или иначе используются в общих характеристиках математического мышления.
Это формальная истина, которая тождественна выводимости суждения из принципов, семантическая истина, бпределяемая через выполнимость принципов данной теории на объектах другой формальной теории, эмпирическая истина, означающая наличие эмпирической интерпретации принципов математической теории, онтологическая истинность, выражающая особое отношение исходных принципов математики к категориальной картине мира, и фактуальная истина, характеризующая отношение общих принципов математической теории к системе фактов (теорем), образующих ее генетическую основу. Для проблемы обоснования наиболее важными являются онтологическое и фактуальное понимание истинности математических утверждений.

В «Науке и гипотезе» А. Пуанкаре высказал мнение, что истинность или ложность могут быть приписаны математической теории только в связи с определенной ее интерпретацией, т. е. только по отношению к комплексу (М + Ф), где М — математическая теория, а Ф — ее физическая интерпретация, но не по отношению к математической теории как таковой. А.Д. Александров выразил эту мысль, сравнивая математическую теорию с техническим приспособлением. «Мы не задаем вопроса, — пишет он, — истинен станок или нет, нам важно работает он или нет. То же самое относится и к математической теории. Она не истинна и не ложна, а лишь эффективна или неэффективна»4. С этой точки зрения сравнение математических теорий друг с другом по их истинности не имеет никакого смысла.

Формалистская трактовка математической истины имеет определенный смысл: она отражает взгляд на математику с точки зрения ее функции. Ценность математической теории состоит в ее способности транслировать истину, переводить одну систему содержательных допущений в другую, а это значит, что она состоит в логической совместности своих принципов, но не в тех или иных истинностных ассоциациях, с которыми они генетически связаны. Очевидно, что приемлемость математической теории не требует ее истинности в эмпирическом или в каком-либо ином смысле. Этот момент формалистской философии математики важен для понимания структуры современной математики и практики ее использования в науке.

Однако, характеризуя математику только как совокупность формальных систем, обладающих свойством непротиворечивости, мы упускаем из виду важное подразделение, существенное для обоснователь- ной методологии. Математические теории, будучи равноправными как непротиворечивые структуры, отнюдь не равнозначны в плане своего отношения к системе внематематических представлений. Хотя неевклидова геометрия столь же безупречна в формальном смысле, как и евклидова, и имеет приложения в науке, мы понимаем, что в отличие от евклидовой геометрии она представляет собой все-таки некоторую искусственную конструкцию, не имеющую оправдания в общезначимой пространственной интуиции. В этом плане мы можем говорить о евклидовой геометрии как о теории, обладающей онтологической истинностью или реальностью своих принципов.

Праксеологическая теория математических идеализаций проясняет смысл и важность этого различения.

Мы будем говорить, что в системе математического знания существует подсистема онтологически истинной математики, которая оправдывается в своих посылках предметной онтологией мышления. Как бы ни расширялась математика, сколь бы сложные и удаленные от здравого смысла и очевидности теории она ни делала предметом своего анализа, в ее центре существовала и всегда будет существовать сфера первмчиой, евклидианской математики, принципы которой общезначимы и продиктованы фундаментальной онтологией мышления. Рассматривая математическое знание в целом, мы вправе говорить, что оно распадается на два типа теорий: теории онтологически истинные и теории правильные, или логически непротиворечивые. Систему математических утверждений, обладающих истинностью в указанном смысле, будем называть онтологической базой или онтологическим ядром математики. Из изложенной выше теории математических идеализаций следует, что сфера онтологической истинности совпадает со сферой аподиктической очевидности.

Мы не можем строго очертить область суждений, относящихся к онтологическому ядру математики (онтологические характеристики не могут быть определены в логических или математических терминах), но очевидно, что сюда относятся прежде всего две основные и генетически первичные структуры математики, а именно, арифметика, евклидова геометрия. Эти структуры истинны в том смысле, что они детерминированы универсальной онтологией мышления и сами относятся к составу универсальных форм мышления, продиктованных деятельностью.

Указанные теории более фундаментальны по отношению к другим математическим теориям в том смысле, что они проистекают из общей онтологической основы мышления, но не из конкретного его содержания и, таким образом, они необходимы для любой мыслимой математики, в каком бы физическом мире она не возникла. Перефразируя Пуанкаре, можно сказать, что в какой бы мир мы не переселились, какие бы математические образы нам не пришлось изобрести для описания этого нового мира (это могла бы быть существенно иная математика), математические теории, составляющее ее онтологическое ядро, не могут исчезнуть или измениться, ибо эта часть математики отражает не фактический мир, а только деятельностную онтологию и, следовательно, она обусловлена только одной особенностью этого мира, а именно, наличием условий для действия. В этом плане можно говорить о различии между физической и онтологической математикой: физическая математика отражает структуры реального (фактического) мира и в принципе может меняться вследствие изменения его>характеристик, в то время как онтологическая математика зависит лишь от категориального видения мира и инвариантна для всех мирову допускающих возможность деятельности и мышления.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 2. Понятие онтологически истинной математики:

  1. 6. Принципы онтологического обоснования математики
  2. 3. Онтологическая основа первичной математики
  3. 3. Онтологическая истинность аксиомы бесконечности
  4. 7. Понятие онтологической совместности
  5. А.Л. Никифоров Понятие истины в теории познания1
  6. П. С. Куслий Понятие истины в аналитической философии3
  7. Понятие истины и ее особенности в социальном познании
  8. 5. Теоретические понятия и истина
  9. Об особенностях современной полемики о понятии истины, об уступках и компромиссах
  10. Истина как основа, цель познания и критерий истины
  11. Истинность моделей в свете учения об объективной, абсолютной и относительной истине
  12. Истину или то, что выдается за истину, исследовать и испытывать
  13. 3. Учение об истине. Проблема критерия истины.
  14. Проблема истины и ее критериев. Истина и правда