3. Онтологическая основа первичной математики

Первичные представления математики покоятся на идеализациях, имеющих необходимую значимость для сознания, а именно, на предметной онтологии, порожденной деятельностной ориентацией мышления. Арифметические и геометрические аксиомы могут быть поняты как теоретические экспликации предметной онтологии: они представляют собой формальные структуры, фиксирующие в себе принципы предметной онтологии. Гуссерлевское понимание исходных математических теорий как формальной онтологии и как учения о предметности вообще содержит в себе существенный момент истины16.

Важно понять, что отношение между исходными математическими теориями и предметной онтологией не является приближенным отражением в смысле эмпирической абстракции или формализации. Арифметика и геометрия, в действительности, являются адекватным и единственно возможным определением предметной онтологии, ибо здесь нельзя говорить о компонентах идеальной предметности, остающихся за пределами их формальной экспликации. Исходные представления арифметики и евклидовой геометрии сами есть подлинное понятийное выражение универсальной онтологии: они являются одновременно и частью теоретических систем, имеющих специальное назначение, и частью универсальной онтологии, лежащей в основании всякого мышления.

Самоочевидность исходных математических представлений имеет таким образом объективное основание — это признак онтологической значимости этих представлений, принадлежности их к универсальной форме мышления. Представление не может принадлежать к универсальной форме мышления, если оно не обладает особой очевидностью для сознания, способностью преобладать над всеми другими типами очевидности. Первичность категориальной очевидности — фундаментальное условие самого существования знания. Отделение формы мышления от его содержания дано человеческому сознанию с предельной определенностью, на которой основана всякая другая определенность мышления. Аподиктическая очевидность абсолютно критериальна в том смысле, что она лежит в основе всех критериев разделения как внутри содержательного, так и внутри формального знания.

Сказанное обосновывает сформулированный выше критерий завершенности математического доказательства. Сведение доказательства к аподиктически очевидным шагам — это сведение его к утверждениям, освященным принадлежностью к форме мышления, т. е. к предельно надежному основанию мышления. Принятие математическим сообществом некоторого доказательства как завершенного — не акт согласия, обусловленного обстоятельствами психологического или социокультурного значения, а констатация факта на уровне категориальных, а следовательно, внеисторических представлений. Это подтверждается всей историей математики: все доказательства, убедительные для Евклида, являются убедительными и для нас. Понимание истоков математической очевидности дает основание утверждать, что математика имеет единое и вневременное основание надежного рассуждения, ни в какой мере не зависящее от изменений в содержании опытных наук.

Понимание онтологической природы исходных математических представлений дает исчерпывающее объяснение факту их синтетичности. Известные аргументы, которые приводит Кант в защиту этого тезиса, искусственны и уязвимы для критики. Действительно, не просто согласиться с положением, что 5 + 7 не заключают в себе числа 12. Логицисты вполне убедительно опровергали это положение17. Арифметика как теория, основанная на определениях, содержит в себе также и аналитические суждения, и строгое отделение одних от других на уровне непосредственной очевидности недостижимо. При обосновании синтетичности математики мы должны исходить не из конкретных примеров, а из обоснования гносеологического статуса математической теории в целом.

Деятельностная трактовка исходных математических представлений позволяет разрешить старый вопрос об отношении геометрии к представлениям механики, который возник в конце XIX века при обсуждении статуса неевклидовых геометрий. Г. Гельмгольц в своей известной статье «О происхождении и значении аксиом геометрии» утверждал, что геометрия не существовала бы вообще, если бы человек не имел общения с твердыми телами и с их измерением. Представления механики или физической геометрии для Гельмгольца безусловно первичны перед теоретической, собственно математической геометрией. Б. Рассел вполне резонно возражал, что само представление о твердом теле уже предполагает идею величины и равенства величин18. Эта неясность может быть устранена только на основе представления об идеальной предметности. Геометрия, несомненно, с самого начала основана на представлении об идеально твердом теле, но это не представление, взятое из опыта или заимствованное из представлений механики. Идеально стабильное тело геометрии — это представление универсальной онтологии, на основе которого сформировались как определения самой геометрии, так и первичные идеализации механики. Геометрия — это онтологически истинная система представлений, применимая к классификации и измерению твердых тел, данных в опыте.

Было бы ошибочным, однако, отождествить онтологию математики с ее предметом, родственным предмету физики, химии и других опытных наук. Мы должны здесь учесть формальный характер математического мышления. Математика как формальная дисциплина развивается не через анализ предмета, а только через формальное развертывание исходных интуиций. Геометр, исходя из интуиции пространства, не исследует пространство как предметную реальность: он направляет свои усилия исключительно на создание формальной системы суждений, соответствующей этим интуициям и поддающейся логическому анализу. Будет правильным поэтому говорить, что абстрактная предметная онтология является квазипредметом или интуитивной основой математики. Первичная математика жестко детерминирована предметной онтологией, как и физика она имеет внешнее основание для своих понятий, но как формальная структура она не относится к этому основанию как к предмету, анализ которого мог бы дать контрпримеры для ее утверждений.

Говоря об априорности математики, мы говорим прежде всего о ее исходных принципах и фактах. Онтологическая значимость арифметических аксиом не говорит об онтологической значимости арифметики во всей системе ее внутренних определений и, тем более, это не относится к математике в целом. Математическое знание, как мы можем понять его в настоящее время, разделяется на две части: на знание априорное, онтологически определенное в своих исходных интуициях, и на знание формальное, оправданное только внутренней логикой математики и приложениями. В настоящее время мы не можем говорить об априорности математики вообще, но можем настаивать на том, что математика содержит в себе априорный центр, являющийся основой ее метода и конечной инстанцией ее обоснования.

Математическая теория может появиться на любой содержательной основе в качестве формальной экспликации любой достаточно ясной системы связей. Здесь появляется соблазн понять математическую теорию как результат структурирования опыта и математику в целом — как учение о структурах или образцах, выявляемых на основе опыта19. В философском плане такой подход неприемлем, ибо он не вскрывает специфики исходных математических представлений. Мы не поймем сущности математики как науки и особенностей ее метода, если не уясним того обстоятельства, что исходные математические структуры имеют онтологический, а не эмпирический характер, что интуитивную основу математики составляют не чувственные образы и* не модели теоретической науки, а универсальные представления о реальности, порожденные деятельностью.