1. Абстрактность системного подхода

Системное обоснование математической теории несравненно более абстрактно, чем логическое. Все программы логического обоснования математики базируются на осуществлении той или иной редукции: либо это редукция содержания математики к содержанию арифметики, либо это редукция математики к логике, либо, наконец, редукция проблемы непротиворечивости теории к непротиворечивости содержательной метатеории.

Рассматривая математическую теорию исключительно с точки зрения ее системной организации, мы полностью отвлекается от содержания ее понятий, а следовательно, и от содержательных классификаций, в которых фактически увязают все логические подходы. И для логицизма, и для интуиционизма, и для формализма является чрезвычайно важным различие между конечным и бесконечным: все эти программы фактически заняты тем, чтобы обосновать бесконечное на основе конечного, свести надежность теорий, трактующих о бесконечном, к теориям, определенным на конечном множестве объектов. В этом пункте заключается основное методологическое противоречие и неустранимый порок этих программ. Ставя задачей обосновать непротиворечивость математической теории, т. е. чисто структурное и безотносительное к содержанию свойство, они пытаются его обосновать, выдвигая на первый план различие между конечным и бесконечным, которое является сугубо содержательным и различным для различных теорий.

Гильберт хорошо понимал, что бесконечность в математике не более, чем символ, введенный через систему правил оперирования с ним, и что обоснование математической бесконечности не связано с раскрытием ее содержательного (метафизического) смысла, а предполагает лишь исследование совместности условий, посредством которых она вводится в теорию как определенного рода понятие. При таком подходе разница между конечным и бесконечным исчезает: то и другое лишь различные идеализации, введенные системой аксиом, а правомерность любого из этих понятий требует лишь обоснования совместности аксиом, безотносительно к содержанию заключенных в них понятий и к характеру интуиций, на основе которых они возникли.

Но начав о такой, несомненно, правильной методологической установки, Гильберт не нашел средства для обоснования формализованных систем, кроме содержательного метаязыкового рассуждения, где различие между конечным и бесконечным является определяющим.

Системный подход полностью абстрагируется от этого различия, рассматривая в качестве существенного момента математической теории только ее системную организацию и уровень этой организации.

При системном подходе мы абстрагируемся также и от всех соображений о простоте и сложности конкретной теории. С генетической точки зрения и простые, и сложные теории могут находиться как в хорошо, так и в плохо организованном состоянии, и те, и другие неизбежно стремятся к предельному выявлению своей логической матрицы, т. е. к дедуктивному оформлению своей основной части, и те, и другие ориентированы на одни и те же типы корректных определений. Другими словами, свойства математической теории, из которых мы выводим ее непротиворечивость при методологическом подходе, совершенно не зависят от разделения теорий на простые и сложные в логическом отношении. Мы абстрагируемся от этого разделения как несущественного, не имеющего отношения к уровню системной организации теории, к завершенности ее аксиоматики и корректности системы ее внутренних определений. Классификация математических теорий по простоте и сложности не имеет прямого отношения к качеству их внутренней логической организации и, следовательно, несущественна для их обоснования как непротиворечивых конструкций.

При системном подходе мы полностью абстрагируемся от понятия истинности аксиом как соответствия какой-либо внешней реальности. Нам важна здесь лишь их внутренняя (фактуальная) истинность, выражающая их особое отношение к неразрушимому центру теории. Непротиворечивость системы аксиом выводится здесь не из ее внешней истинности, а исключительно из ее необходимости для исторически сложившегося центра теории. Неразрушимость и непротиворечивость центра математической теории берется здесь в качестве первичного факта, который, впрочем, может быть строго обоснован на основе представлений о конечной определимости и завершенности математических понятий.

Системный подход, таким образом, несравненно более абстрактен, чем логический. Он оставляет в стороне ориентацию на метатео- ретическое (логическое) доказательство непротиворечивости и ориентацию на рассмотрение свойств математической теории, которые для логического подхода представляются наиболее существенными. Это такие свойства как простота и сложность, конечность и бесконечность, редуцируемость к арифметике и т. п. Он абстрагируется также и от понятия онтологической истинности аксиом как заведомо недостаточного для прояснения факта непротиворечивости математического мышления в целом.