6. Плюрализм и консенсус

Перечисленные выше старые и новые направления в философии математики не исчерпывают всех подходов, поскольку все они принадлежат некоторому «канону», который превосходно ощущается аналитическими философами. Однако есть и радикально другие подходы к философии математики, и среди них следует выделить философа Ф. Китчера и математика Р. Херша.

Для Китчера математические утверждения суть совокупность операций, выполняемых идеальным субъектом55. Он полагает математику цепью непрерывных концептуальных конструкций и в этой связи развивает эволюционную модель математического познания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного рода исследованиях предстает история математики, из которой следует извлечь некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальными изменениями по ходу развития математики. Ясно, что философия Т. Куна занимает в позиции Ф. Китчера самое значительное место. Кроме того, Китчер прибегает в объяснении математического познания к причинной теории указания Крипке — Патнэма, согласно которой значение термина прослеживается через цепь изменений к некоторому исходному акту употребления термина. Рано или поздно эта цепь упирается в перцептуальное познание наших предшественни- ков-предков. В этом ключе, утверждая важность психологии, Китчер отказывается от эпистемологической ориентации в исследовании природы математических истин. Если обычная позиция в философии математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих истин, то Китчер полагает, что большая часть людей уже знает значительную часть математических истин, и задача философского исследования состоит в том, чтобы понять, как мы получаем это знание.

Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если можно так выразиться, классической философии математики. Между тем возможен более радикальный взгляд на философию математики, который, как очитает Р. Херш, больше соответствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что в повороте философии математики к практике некоторые философы высказали новые взгляды, суть которых состоит в следующем.

• Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью человеческой культуры. Значит, математика не есть описание абстрактных концепций Фреге и вневременной объективной реальности. •

Математическое знание погрешимо. Подобно науке, математика прогрессирует через ошибки и их исправление (Лакатос). •

Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от времени, места и множества других вещей. Использование компьютеров в доказательстве есть нетрадиционная версия строгости. •

Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская логика является не самым лучшим способом решения этих проблем. •

Математические объекты суть специальный вид социально- культурно-исторических объектов. Мы можем выделить математику из литературы или религии. Тем не менее математические объекты являются общими культурными идеями, подобно литературным персонажам или религиозным концепциям56.

Следует сказать несколько больше относительно того, что же представляет собой так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому модному направлению в философии — социальному конструированию, хотя гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с социальным конструированием57. Дело в том, что признание математики просто человеческой активностью, с точки зрения гуманистической математики, вообще не имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за пределами социально-историко-культурного контекста, который проявляется в неизменной онтологии математических объектов и вневременном характере математических истин. Но если, как это утверждает гуманистическая математика, математическое познание погрешимо, тогда истина и онтология в математике изменяются по ходу познания.

Конфликт между гуманистической математикой и классической философией математики достаточно глубок, поскольку отражает не только недовольство стагнацией в философии математики, но и попытки радикального отделения философии от математики вообще. Р. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в математике, — это деятельность работающих математиков, и поиски фи- лософов по поводу того, что такое математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет ложный след.

Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны, хотя есть признание стагнации в классической философии математики и даже признание того, что «ничего из этого не работает», существует ряд направлений, призванных придать философии математики новое дыхание.

Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью независимо от каких-либо философских рассмотрений. Взгляды относительно статуса математических объектов или утверждений ничего не вносят в математику и являются худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посторонних. Надо признать, что большинство математиков вообще не интересуются философией, онтологией или семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в противоречие со своей собственной практикой.

В этом отношении близким взглядом является натурализм, характеризуемый Куайном как «отказ от первой философии» и «осознание того, что только в рамках самой науки должна описываться и идентифицироваться реальность». Мэдди применяет натурализм к математике, также утверждая, что математика должна быть изолирована от традиционных философских исследований. Ну и все проблемы в математике должны решаться математиками как математиками. Как быть с такой радикальной точкой зрения?

Известно, что многие знаменитые математики были философами. Так, Гедель утверждал, что его реализм был важным фактором открытия полноты первопорядковой логики и неполноты арифметики. Например, теорема полноты есть следствие некоторых резуль- татов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что оба имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь немногие счастливые примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.

Р. Херш продолжает атаковать философию математики еще более яростно, настаивая на том, что даже подразумеваемая философия работающего математика, а именно платонизм, ущербна в самой основе. Характерным подтверждением такой позиции является следующее его высказывание: «Проблема состоит в том, что Платонизм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога». Херш полагает, что «традиционная философия осознает только передовой фронт математики». Но нельзя понять передовой фронт без того, чтобы понять ее фон. Внутренний участник событий мог бы: 1) помочь лучшему пониманию мешанины в математике и сформулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом контекста, с новой возможностью решить их; 2) показать, что нет нужды философствовать по поводу математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть математика. Однако пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отношению к (2) и не должны делать позитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает заниматься в основном (3). Внутренний участник может дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3). Большая часть внутренних участников являются повседневными платонистами, а по выходным — формалистами, что вносит философскую путаницу47.

Большинство внутренних участников (от Декарта до Гильберта) были осведомлены о «задворках» математики, но их, в отличие от Херша, интересовал вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность математических вер и надежность математического размышления. Социальный характер математики является тривиальным обстоятельством, свойственным всему человеческому знанию. В подобного рода рассмотрениях важное место занимает позиция работающего математика, или, более фундаментально, математическая практика. Любое обсуждение философии науки требует обращения к научной практике. Но для философских целей понятие практики часто принимает нужную форму в угоду философским предпочтениям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представляет собой научная практика, или, более точно, какова струк- тура научной практики, которая является предметом философского анализа. В случае математики суть практики отнюдь не сводится к доказательству, хотя традиционно считалось, что математик доказывает истины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргументов, значимость которых варьировалась в зависимости от той же самой математической практики. Научная практика имеет много компонентов: язык, теоретические принципы, примеры теоретической и экспериментальной работы, принятые методы размышления, техника разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгляды на природу научного поиска. Ф. Китчер рассматривает математическую практику как предприятие, включающее в себя пять компонентов: язык, множество принятых предложений, множество принятых способов рассуждения, множество принятых в качестве важных вопросов и множество метаматематических взглядов (стандарты доказательства и определения, а также утверждения о сфере и структуре математики)48.

Таким образом, традиционные взгляды на философию математики претерпевают значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической истины.