В чем смысл формулы?

Прежде всего выясним физический смысл формулы (1). Консервативная тенденция, или группа сохраняющихся при движении величин, как правило, возглавляется понятием энергии, тогда как неуемное расширение — это второе начало, рост энтропии.

Мы можем сказать, что физический смысл формулы (1) заключается в том, что всякое произвольное преобразование реальности содержит, как минимум, две качественно разные характеристики; в физике эти характеристики
носят название функций состояния — энергии и энтропии. Однако устройство физической реальности симметрично: поскольку даже время в аппарате физики обратимо, преобразования могут меняться местами, как в музыкальном каноне. Такая замена ведет к тому, что энтропия обретает вид оптимума (максимум вероятности), отвечающий равновесию.
Стремлением к равновесию проникнуты многие процессы. Оказывается, что на этом пути соблюдаются два фундаментальных условия, названных началами термодинамики: первое начало утверждает, ¦ что энергия потоков, стремящихся к равновесию, рассеивается, но в общем зачете расхода и прихода (с учетом тепла и излучения) сохраняется, тогда как второе начало указывает, что все процессы в ходе установления равновесия ведут к росту энтропии системы, и в результате в равновесии она достигает максимума. Две группы симметрии обнаруживаются как раз тогда, когда мы говорим о потоках и их рассеянии в ходе установления равновесия. Например, в ламинарном (безвихревом) потоке движение сохраняет самоподобие и обратимо (в случае несжимаемой жидкости расширения и сжатия трубы приводят к согласованному с сечением трубы изменению скорости движения); напротив, при рассеянии движение теряется необратимо, но мерой необратимости вновь оказывается сечение, на этот раз называемое сечением рассеяния. Критерии подобия пронизывают всю гидродинамику — принцип подобия используется для установления параметров потока и условий сохранения его устойчивости. Однако уже не подобие, а сохранение начинает доминировать в термодинамике, когда речь идет о балансах. В общем случае отыскание условий сохранения и подобия является наиболее эффективным приемом описания переноса массы и тепла. Но, как правило, одного из них не бывает достаточно — они всегда должны использоваться совместно, и хотя это не всегда делается явно, но всегда подразумевается. Даже в системах, далеких от равновесия, эти принципы продолжают главенствовать, несмотря ни на что.
В состоянии локального (не окончательного) равновесия достигает минимума функция, отвечающая за производство энтропии, — в этом состоит теорема Пригожина. В то же время в далеких от равновесия системах поведение энергии все
больше проявляет функцию подобия, отвечающего определению движения как самоподобного перемещения тела. В результате получаем в открытых (диссипативных — по Приго- жину) системах самоподобные (фрактальные!) структуры движения. Обращаясь к экологическим системам, отметим, что природные экосистемы, как правило, имеющие сетевое строение с фрактальной размерностью, демонстрируют поразительную структурированность переноса вещества и энергии. Исследование устойчивости сложных экосистем привело ученых к выводу о том, что устойчивость связана не с числом видов в системе, а со структурой двух основных каналов — передачи вещества и энергии в системе. Устойчивая система обладает асимметричной структурой, тогда как появление симметрии между каналами или подавление одного из каналов приводит к дестабилизации системы, выходу ее из равновесия.[‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡]
Относительно психофизиологических и социоприродных смыслов можно сказать, что их диалектичность доказывалась целым поколением философов-марксистов, и надо сказать, что отрицать двойственную природу явлений, происходящих в этих областях, сегодня никто не возьмется. Пора сделать следующий шаг: внятно формализовать двойственный характер явлений в этих областях, что послужит эффективной базой новых открытий. Например, для морали и знания основой формализации может служить то, что сфера знания неудержимо расширяется и потому вписывается в ЛГ-тип преобразования, тогда как сфера морали консервативна в поисках абсолюта, гармонии, оптимума — т. е. идет путем преобразований Л-типа.
Здесь мы попробуем раскрыть математический смысл идеи дуального описания на примере ситуации, описываемой теоремой Геделя о неполноте. Теорема утверждает, что любая формальная[§§§§§§§§§§§§§§] математическая система неполна — т. е. ее
«внутренних» средств недостаточно для доказательства непротиворечивости ее же собственных утверждений. Гедель доказал, что противоречия рождаются неизбежно, какой бы набор надежных логических принципов мы ни использовали в рамках аксиом, связанных этими принципами в формальную систему. В любой аксиоматической системе существуют утверждения, логически недоказуемые в рамках данной системы; в то же время интуитивно воспринимаемые истины в математике (те же аксиомы) лежат вне рамок логического доказательства. Таким образом, неполнота математических систем в том, что логика не в состоянии «дотянуться» до доказательства аксиом; с другой стороны, любой системы аксиом недостаточно, чтобы устранить противоречия, возникающие при пользовании логикой внутри этой системы.
Неожиданность теоремы Гёделя в том, что, выбирая путь от общих посылок (аксиом) к частным выводам и логически доказав массу теорем, отвечающих эмпирическим фактам, математик никак не ожидает, что этот хорошо налаженный формальный механизм может дать осечку — выдаст «на гора» противоречие или контрпример, которые подвергают сомнению все ранее полученные результаты, в которых он интуитивно уверен. В этом математика можно сравнить с бильярдистом, у которого неожиданно случается «осечка», когда шар вдруг отказывается двигаться в предписанном ему направлении, или угол падения в бильярде перестает равняться углу отражения. Такая «осечка» однако часто случается в суде, когда из законодательных «аксиом» адвокат находит вывод, прямо противоположный обвинению. Да и неполнота хорошо знакомый факт для следователей и криминалистов — часто они интуитивно уверены в виновности подозреваемого, однако собрать полный набор доказательств не в состоянии. Эмпирический факт используется и в математике, и в физике, однако пользуются они им по-разному.

Математик сразу «верит» факту и создает из него аксиомы, из которых с помощью логического механизма выводит следствия. Но механизм этот не свободен от противоречий — «ошибка» вводит систему в ступор (компьютер в этом случае требует перезагрузки). Физик же, по существу, движется в обратном направлении — от частных наблюдений (экспериментальных фактов) к цель
ному зданию физической теории (в математике такое здание называют формальной системой). При этом, по утверждению Эйнштейна, все физические теории строятся на базе интуитивного скачка, отвечающего принятию базовых аксиом теории.[***************] Физическая теория представляет собой математическую модель, которая способна предсказать новые факты — чем и дает основание говорить о непостижимой эффективности математики. Однако рано или поздно обнаруживается факт, находящийся за пределами «досягаемости» модели или же ведущий к противоречию. В физике в таких случаях говорят о катастрофе (например ультрафиолетовая катастрофа). В этом случае логического расширения модели недостаточно и требуется перестройка ее оснований, т. е. интуитивный скачок.
Психологически мы часто рассчитываем, что возможно неограниченное продолжение логики. Однако логика есть некий механизм, и этот механизм не универсален — скорее следует говорить о множестве механизмов, пригодных для различных жизненных случаев, например, для езды по полям легковой автомобиль не годится, трактор или вездеход лучше.
В то же время при «симметрийном» разборе формулы Гегеля мы видели, что логика состоит из пары операций — дедукции и индукции, а их неразрывность означает синхронное использование, или произведение типа (1). Можно сказать, что любая законченная логическая операция, такая как вывод или доказательство, — это всегда дедукция, помноженная на индукцию. Важное свойство этого произведения — групповая симметрия, именно поэтому нам удалось в формуле Гегеля перегруппировать ее компоненты. Понятие симметрии, уточненное как понятие группы, подразумевает инверсию, обращение всех ее компонентов. В случае, когда мы рассматриваем систему логических высказываний как целое, обладающее групповой симметрией, мы, несомненно, должны обнаружить зеркальную симметрию составных частей, образующих группу. Таким образом могут рождаться зеркальные пары утверждений (таковы хорошо известные теоремы двойственности в геометрии — теоремы Паскаля и Брианшона). Однако если
в этом «зеркале» отразить базовую аксиому, мы получим ее зеркальный «антипод» — ее отрицание, существование которого и утверждает теорема Гёделя.[†††††††††††††††] Подобная инверсия в других областях знания с равным успехом «генерирует» тезисы и антитезисы в диалектике Гегеля или частицы и античастицы из моря Дирака — открытые «на кончике пера», они существуют реально!
Логика образуется из индукции и дедукции и порождает, с одной стороны, индуктивно определяемые аксиомы, а с другой — дедуктивно выстроенные формальные системы или теории. Эти составляющие, таким образом, оказываются взаимодействующими компонентами различной природы. Относя индукцию и дедукцию к различным классам симметрии (дедукция — скорее проективное преобразование, отбрасывающее тени в бесконечность, тогда как индукция — качественный поворот, вращение, сохранение, а это означает наличие инвариантов и аксиом!), мы можем основать любую логическую систему на композиции этих понятий по формуле (1), что создает представление о науке как неограниченно продолжающемся процессе построения дедуктивно-индуктивных систем и обещает ей бесконечное раскрытие все новых и новых композиций.
Зеркально-групповая симметрия, которой обладает преобразование А, объясняет особую, избранную роль дуализма, о котором идет речь в этой статье. Понятие группы означает существование противоположных, парных элементов.[‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡] В зеркале-группе все находит свою пару, и потому счет идет именно парами, а не тройками, четверками или семерками.
В то же время, рассматривая метод проекций, который позволяет представить любую операцию над векторами в виде суммы парных произведений, мы видим, что он представляет

собой не чисто групповую операцию, а осуществляется как операция над некоторым числовым полем, т. е. включает в себя две операции — сложение и умножение.
Скалярное произведение двух векторов наглядно иллюстрирует эту структуру:
{х-у) = х^у^+х2у2+хъуъ (2)
Таким образом, широта охвата формулы (1) гораздо больше, чем область только групповых соотношений — она охватывает более широкий класс явлений, позволяя описывать явления, имеющие место в числовых кольцах и полях. При этом известный постулат Бора — недостаточность одной интерпретации для описания сложных (больших) систем — обретает наглядный смысл в методе проекций. Заменим понятие интерпретации термином «проекция», как мы это делали выше при исследовании психики, и окажется, что интерпретации есть слагаемые в формулах (2), где внутри каждого слагаемого обнаруживается дуализм. Пример (2) показывает, что все частичные проекции в общем зачете аддитивны и комплементарны, т. е. образуют единое целое путем суммирования частей. Тогда и описание целого в терминах частей (главная задача теории систем!) представляется комплементарной суммой независимых членов (частей), где каждый член неустранимо дуалисти- чен (т. е. является произведением двух сомножителей) и тем подобен всем остальным. Именно это свойство векторных произведений принесло успех описанию экологической ниши в терминах многомерного векторного пространства, которое было предложено Дж. Хатчинсоном; этот подход стал одним из самых серьезных прорывов в математизации экологии.
Формула (1) позволяет развеять наконец схоластический туман, сгустившийся вокруг термина «устойчивое развитие». Действительно, устойчивость подразумевает преобразование оптимума R, тогда как для развития должно быть найдено преобразование коэволюции — К. Кажущееся противоречие переплавляется в формуле (1), где А выражает непрерывно рождающееся новое измерение завтрашнего дня, «сумму дилемм» дня сегодняшнего.

<< | >>

↑

Источник: Самсонов Александр Львович. Система мира и миры систем. 2009

Еще по теме В чем смысл формулы?: