Развитие идей Стивенса

Идеи Стивенса привели к созданию своеобразной математической теории, которая была названа теорией измерений и бурно развивалась во второй половине XX века.

Произошло то самое «взаимообогащение» социологии и математики, о котором мы говорили выше в п.

Именно только что упомянутую теорию измерений мы называем в настоящей работе репрезентационной (РТИ), т. е. основанной на представлении (репрезентации) эмпирических систем числовыми. Причина добавления этого эпитета состоит в том, что термин «теория измерений» претендует на универсальность, которой РТИ не обладает. В частности, она не может полностью удовлетворить социолога. Мы покажем (глава 14), что для приближения этой теории к потребностям социологии ее надо расширить. Для этого расширения будем исполь- эовать словосочетание «теория социологического измерения». Термин «теория измерений» пока оставим незадействованным — по нашему мнению, нет пока в пауке теории, достаточно общей для того, чтобы так называться.

Уже первые результаты РТИ дали ответ на большинство сформулированных выше вопросов. Развитие теории породило новые проблемы, новые результаты. Далеко не все достойные внимания социолога достижения РТИ «возвращены» сейчас в практику. Кратко сформулируем основные принципы РТИ и покажем, как из этих принципов вытекают ответы на поставленные выше вопросы. 13.3.1.

Допустимые преобразования шкал

Выше (п. 1.1) мы уже отмечали, что совокупности шкальных значений, полученных по номинальным, порядковым, интервальным шкалам, определяются неоднозначно. Это имеет место из-за того, что не все свойства чисел оказываются задействованными при моделировании изучаемой ЭС (эмпирической системы). Ясно также, что именно эта неоднозначность мешает использованию для нужд социологии традиционных числовых математических методов.

Действительно, если, например, с помощью порядковой шкалы мы моделируем в ЧС (числовую систему) только отношения равенства и порядка, то, конечно, для нас не будут различимы следующие, полученные для некоторых четырех эмпирических объектов, последовательности шкальных значений: 1, 3, 5, 7 и 121, 122, 305, 504 (сравнить табл. 1.1). Если же, применив какой-то метод к первой последовательности, мы получим один содержательный результат (скажем, состоящий в том, что интересующее нас различие между первым и вторым объектом равно различию между третьим и четвертым), а ко второй — совершенно другой (первое различие существенно меньше второго), то зачем нам такой метод?! И, вероятно, не требует особого доказательства тот факт, что чем в большей мере У нас моїут «болтаться» результаты измерения (речь идет о степени их неоднозначности), тем меньше методов будет пригодно для их изучения.

Подобные рассуждения привели исследователей к выводу, что степень неоднозначности шкальных значений должна быть ключевым понятием для такой теории измерений, главная цель которой — обеспечение грамотного отражения реальности в процессе измерения и адекватного анализа его результатов. «Грамотность» и «адекватность» удерживают моделирование (и в процессе измерения, н в процессу анализа данных) в рамках реальности.

Это ключевое понятие было строго определено. Допустимым преобразованием шкалы было названо такое преобразование полученных с ее помощью шкальных значений, с точностью до которого эти значения были определены (ниже будет дан а более строгая формулировка). Стало ясно, что пригодным для анализа некоторой совокупности шкальных значений можно назвать такой математический аппарат, который в каком-то смысле не «реагирует» на допустимые преобразования этой совокупности. Поскольку же с точки зрения потребностей практики для исследователя, вероятно, могут считаться одинаковыми шкалы, для которых пригодны одни и тс же способы анализа их значений, то родилась идея отождествить тип шкалы с отвечающей ей совокупностью допустимых преобразований.

Итак, понимание типа шкалы «замкнулось» на представлении о том, что мы можем делать со шкальными значениями. Математика же требует строгих определений, которые и были сформулированы в рамках РТИ. Перейдем к описанию соответствующего формализма. 13.3.2.

Шкала как гомоморфизм

Дадим еще раз некоторые определения, уже введенные нами в п. 1.1. Но сделаем это более строго. Не давать строгих дефиниций мы не можем: именно в них — квинтэссенция того подхода, который дает возможность продвигаться вперед в решении проблемы социологического измерения. Однако встает вопрос: почему строгие определения не были даны в начале работы?

Причина не только в том, что нам не хотелось сразу «ошарашивать» формализмом читателя-гуманитария. Данные в п. 1.1 определения тоже довольно формальны. Принципиальное их отличие от приведенных ниже состоит не в недостаточной степени формализации, а в том, что они шире (смысл этого станет ясным из главы 14).

Назовем системой с отношениями (СО) кортеж а =< A; Rv ..., й >, состоящий из некоторого множества-носителя А и совокупности заданных на нем отношений Rv ..., Rm, имеющих размерности (местности) гу гт соответственно. ЭСО, ЧСО, МСО определим аналогично тому, как это было сделано в п. 1.1.

Предположим теперь, что у нас имеются две системы с отношениями:

а =< A; R R >; Р = < -В; S,, 5 > таких, что количество от-

г 1 /74 • 1 П

ношений в обеих СО одинаково (т - п) и что между отношениями этих СО установлено такое соответствие, при котором размерности отвечающих друг другу отношений одинаковы. Для определенности положим, что номера этих отношений тоже одинаковы: отношение Я, отвечает отношению и оба имеют одинаковую размерность, R, отвечает отношению 52 с той же размерностью,.... Rm — отношению Sm.

Назовем гомоморфизмом такое отображение а в р (символически — h\ а —> Р), при котором каждому объекту из А ставится в соответствие один элемент из В (разным элементам из А может отвечать один и тот же элемент из В) так, что для любого г какие-то объекты из А вступают в некоторое отношение R. тогда и только тогда, когда их образы из В вступают в отношение 5,

Изоморфизм — частный случай гомоморфизма, отличается от последнего тем, что отображение А в В не только однозначно, но и взаимно однозначно.

Пусть а — ЭСО, р — ЧСО. Шкалой будем называть гомоморфное отображение h: а —>? р.

Если А — это множество респондентов с заданными на нем отношениями равенства и порядка по росту, а В — множество натуральных чисел с заданными на нем обычными числовыми отношениями равенства и порядка, и эмпирические отношения равенства и порядка ставятся нами в соответствие одноименным числовым отношениям, то осуществление гомоморфного отображения из а в р обозначает, что каждому респонденту ставится в соответствие некоторое число таким образом, что равным по росту респондентам отвечают одинаковые (числа, более высокому респонденту отвечает большее число.

Преобразование ф называется допустимым преобразование ем шкалы, если из того, что И: а —> р — шкала, следует, что /г: а —> р'

< <р (2?), S Sn> — тоже шкала. При этом h: =

Отметим, что социологи часто негативно реагируют на использование терминов «изоморфизм» и «гомоморфизм» при описании процесса измерения, считая их чисто математическими. Вряд ли такой подход правилен. Эти термины активно задействованы в литературе по осмыслению понятия модели [Гастев, 1975] и процесса познания [Frey, 1969]. 13.3.3.

Типология шкал по Стивенсу

Исходя из сказанного выше, будем отождествлять тип шкалы с совокупностью отвечающих ей допустимых преобразований.

Нетрудно понять, что допустимыми преобразованиями знакомых нам номинальной, порядковой и интервальной шкал являются преобразования, указанные в табл. 13.1. Там же определены допустимые преобразования пока не иснользованных нами шкал — разностей, отношений и абсолютной. Задав допустимые преобразования этих шкал, мы тем самым их определили.

Таблица 13.1

Допустимые преобразования шкал, наиболее часто использующихся

в социологии Тил шкалы Отвечающие типу шкалы допустимые преобразования и их определение Номинальная Взаимно однозначные (,х - у) = (/(х) -/(у)) Порядковая Монотонно возрастающие (х < у) = (/(.г) f(x) - ах + b;a,b — произвольные действительные числа, а > 0 Шкала разностей Преобразования сдвига /(х) = х + Ь Шкала отношений Преобразования подобия f(x) = ах, а > 0 Абсолютная Тождественное f(x) =х Перейдем к вопросу о сравнении введенных типов шкал.

Назовем тип одной шкалы более высоким, чем тип другой, если совокупность допустимых преобразований первой шкалы включается в совокупность допустимых преобразований второй. Смысл такого определения ясен: принадлежащими к более высокому типу мы считаем такие шкалы, для которых соответствующие шкальные значения являются более устойчивыми, меньше могут «болтаться», т. е. больше похожи на настоящие числа. Ясно, что к более устойчивым шкалам можно применять большее количество математических методов.

Если принять эго определение, то между всеми типами шкал можно установить соответствующее отношение порядка. Но это отношение будет частичным. Нетрудно видеть, что несравнимыми оказываются шкалы отношений и шкалы разностей: ни одна из соответствующих совокупностей допустимых преобразований не включается в другую.

Частично упорядоченное множество можно изобразить в виде математической решетки. Мы не будем строго определять это понятие. Надеемся, что читателю будет примерно ясно, о чем идет речь, если мы скажем, что в нашем случае эта решетка будет иметь вид, изображенный на рис. 13.1 (более высокому типу шкал отвечает более высоко расположенный прямоугольник).

Рис. 13.1. Частично упорядоченное множество типов шкал, наиболее часто использующихся в социологических исследованиях

Заметим, что в рамках РТИ существуют и другие подходы к пониманию сравнимости разных типов шкал. Их описание можно найти в [Высоцкий, 1978]. 133.4,