5. Трансфинитные ординальные числа

Обсуждаемые нами числа носят название ординальных, из чего ясно, что речь идет о порядковых числах ряда. Кардинальное число ряда натуральных чисел единственно, а вот ординальных чисел натурального ряда может быть много. Ординальное число ряда может изменяться простым переупорядочением его членов. Процедура начинается с натурального ряда чисел

1, 2, 3, 4,...,«,...

Этот ряд имеет наименьшее ординальное число, названное Кантором ш. Теперь утончим этот ряд путем повторения операции изы- мания первого четного числа и сдвига его в конец ряда. При этом получается последовательность различных рядов: 1, 3, 4, 5, п, ... 2 1, 3, 5, 6, ... п + 1, . ..2, 4 1, 3, 5, 7, п + 2, . -2, 4, 6 и так далее. Если этот процесс продолжается сколь угодно долго, в результате мы имеем ряд

1, 3, 5, 7, ... 2п + 1, ... 2, 4, 6, 8, ... 2п.

Ординальное число первого ряда со + 1, второго — со + 2, третьего — со + 3 и итогового — 2со. Каждое последующее число «больше» предыдущего. Интуитивно введение порядка обосновывается тем, что одно ординальное число больше другого, если ряд, имеющий первое число, содержит часть ряда, имеющего второе число. Приведенный ниже пример сравнивает таким образом два ряда:

1, 3, 4, 5, п, ... 2

1, 3, 5, 6, ... п+ 1, ... 2, 4. Первый ряд подобен части второго ряда, и потому имеет большее ординальное число. Вообще, утончение ряда натуральных чисел можно продолжать и далее. Получение ряда с ординальным числом со2 происходит путем помещения в начале ряда нечетных чисел, затем удвоения этих чисел, затем удвоения и этих чисел и т.д. Таким образом, получается ряд

1, 3, 5, 7,... ; 2,6, 10, 14,... ; 4, 12,20,28,... ; 8, 24, 40, 56, ... .

В ходе подобного процесса можно получить и со3, со4,.. .сот и т.д. Мы не входим здесь пока в формальные детали подобного рода бесконечного процесса утончения натурального ряда. Отметим важный результат, который получит далее более строгую трактовку. Ряд всех ординальных чисел, которые могут быть получены таким путем, сам по себе больше, чем любой ряд, который может быть получен переупорядочением членов натурального ряда. Кардинальное число такого ряда ординальных чисел имеет кардинальное число X, которое, как уже было видно, больше Ординальное число такого ряда — со,.

Здесь мы видим, что есть прямая связь между двумя видами бесконечных чисел — ординальными и кардинальными. Между тем важно понимать, что каждое из чисел было введено независимым образом, и в дальнейшем Кантор приложил значительные усилия для разрешения вопросов, которые возникли на пути увязывания этих двух видов чисел.

Формальное введение ординальных чисел обладает столь большой новизной, что новая математическая теория столкнулась с активным неприятием. Как уже упоминалось выше, один из математиков, не принимавших теории трансфинитных чисел, воскликнул: «Это уже не математика, а настоящая теология». Действительно, Кантор «творит» ординальные числа, устанавливая три принципа порождения их.

Первый принцип порождения состоит в добавлении единицы к числу, которое уже было порождено. Этот принцип дает числа, принадлежащие к первому числовому классу: (I) = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

Первый принцип позволяет нам получить натуральный ряд чисел. Теперь в действие вступает основное новшество Кантора, а именно, рассмотрение бесконечного множества как единого объекта. Против такого понимания бесконечности как актуальной бесконечности завершенного процесса, выступали сторонники концепции потенциальной бесконечности как никогда не завершающегося процесса. Если процесс никогда не завершается, тогда мы не выйдем за пределы множества натуральных чисел, или в терминологии Кантора, первого числового класса. Для того, чтобы перейти к трансфинитным числам, нужен «скачок» от первого числового класса к следующему. Для этой цели служит второй принцип порождения транс- фцнитных чисел. 76 В результате «скачка» получается новое число, которое больше любого натурального числа, каким бы большим оно ни было. Это число обозначено Кантором со, и оно является пределом, к которому стремится, но никогда не достигает натуральный ряд чисел 1,2, 3,4,....

Второй принцип порождения формулируется так: Если имеется некоторая определенная последовательность целых чисел, в которой нет наибольшего числа, может быть образовано новое число, которое определяется как наименьшее из чисел, которые больше любого целого числа.

Итак, путем «скачка» получено новое число со. Это то самое ординальное число, которое мы обсуждали ранее. Теперь мы можем перейти к числам со + I, со + 2, со + 3,..., используя первый принцип порождения. К этой последовательности ординальных чисел применяется второй принцип порождения, в результате чего получается число й)2 и т.д. Повторяющееся применение двух принципов порождения дает нам бесконечную иерархию ординальных чисел. Все эти числа составляют второй числовой класс, и они могут рассматриваться как объекты, полученные описанным выше процессом введения сложного порядка в ряду натуральных чисел («утончение» всякого рода).

Напомним, что Кантор ищет такие бесконечные множества, которые могли бы составить континуум. Тогда встает вопрос, достаточно ли полученных чисел для этих целей? Можно убедиться в том, что все порожденные таким образом числа могут быть поставлены в одно-однозначное соответствие с натуральными числами, и все ординальные числа могут быть приписаны множествам натуральных чисел, когда они считаются не в натуральном порядке (включая процедуры «утончения» и перестроения членов натурального ряда). Так что ординальные числа применяются к множествам, имеющим мощность Х0. Таким образом, первые два принципа сами по себе не порождают какого-либо ординального числа, которое могло бы быть числом точек на линии. Нужен еще один «скачок» в трансфинитное, обеспечиваемый третьим принципом порождения.

Для того чтобы понять логическую структуру следующего «скачка» в трансфинитное, следует более тщательно проанализировать первый принцип порождения.

Теперь первый и второй порождающие принципы могут быть объединены в третий порождающий принцип, формулировка которого требует более пространных объяснений. Сам принцип можно сформулировать так: для каждого множества А ординальных чисел существует наименьшее ординальное число, превышающее любой член А; это число называется sup А.

Для понимания того, почему третий принцип порождения обеспечивает «решающий скачок» в область трансфинитного, требуется понимание того, какого рода множества А ординальных чисел существуют вообще. Как указывалось ранее, любая совокупность вещей, объединенных мыслью, может быть множеством, при условии, что такая совокупность вообще возможна.

Традиционно изложение оснований математики начинают с парадоксов теории множеств, но простая декларация их мало что говорит об их подлинной значимости, вне технических деталей. Мы приберегли эти парадоксы для данного этапа, чтобы показать их подлинную важность. А действительно, какие множества могут быть, а какие не могут? Самый известный из теоретико-множественных парадоксов — парадокс Рассела — утверждает, что совокупность В всех множеств, которые не являются членами самих себя, не может быть множеством. Потому что если бы В было множеством, тогда было бы противоречие В є В, если и только если, В ? В. Таким образом, никакое множество не может быть элементом самого себя. А это значит, что совокупность всех множеств К не является множеством. Встает вопрос о том, чем же является такая совокупность, которая объемлет все сущее?

Рассмотрим более частный вопрос о множестве всех ординальных чисел, которое обозначим через Оп. Согласно третьему принципу порождения, тогда существует ординальное число Q = sup On. Но это невозможно, так как если Q есть ординальное число, тогда Q есть элемент совокупности всех ординальных чисел Оп. Но это означает, что Q < sup On < ?2. Вот тут мы используем скрытое свойство первого принципа порождения, а именно, что никакое ординальное число не может быть меньше самого себя. Таким образом, предположение о том, что Оп есть множество, ведет к противоречию. Это обстоятельство было открыто Бурали- Форти в 1897 г., за несколько лет до открытия Расселом парадокса, носящего его имя. Парадокс Бурали-Форти в момент своего откры- тия, как полагали, относился к тонкостям теории множеств и не представлял особых проблем. А вот парадокс Рассела задевал саму логику математического размышления, и потому стал наиболее известным. Если действительно считать парадокс Бурали-Форти чем- то не очень существенным, то можно пойти на некоторое ослабление строгости. Ведь на самом деле у нас есть интуитивное понятие множественности, в частности, понятие всех ординальных чисел, и это понятие мы обозначим через On, а интуитивное понятие единого обозначим через Q. Соотношение между двумя этими понятиями легко видно из формулы On = {а: а < ?2}, т.е. множество всех ординальных чисел есть множество таких множеств а, каждое из которых меньше Q.

Мы апеллируем здесь к интуиции, потому что Q представляется понятием полностью метафизическим. Это абсолютная бесконечность, не поддающаяся рационализации, непостижимая сущность. Эта сущность подобна Богу (так полагал сам Кантор), она не подлежит никаким математическим манипуляциям. Отсюда следует, что разговор о «всех множествах» является лишь приближением к описанию универсума множеств. Но множество как таковое представляется вещью объективной и вполне постижимой. Третий принцип порождения множеств на самом деле есть другая ипостась Принципа Рефлексивности, поскольку утверждает, что никакое множество ординальных чисел А не достигает ?2. Точнее, третий принцип порождения говорит, что для любого данного множества всех ординальных чисел А всегда можно найти некоторое ординальное число большее, чем любой член А. Для любого множества А ординальных чисел существует ординальное число sup А, которое лежит между А и непостижимым Q.

Возвращаясь к идее очередного «скачка» в трансфинитное, рассмотрим те соображения, которые лежат в основе третьего принципа порождения. Мы имеем всеобщность ординальных чисел, порожденных первыми двумя принципами. Теперь нужно отделить или отграничить эту всеобщность ординальных чисел таким образом, чтобы второй принцип дал новое число, а именно сог Это число больше, чем все числа, принадлежащие второму числовому классу. Сам принцип в формальном виде звучит так: все числа, следующие в процессе порождения за со, должны быть таковы, что совокупность чисел, предшествующих им, должна иметь ту же самую мощность (или одно и то же кардинальное число), как и первый числовой класс. Эти числа составляют второй числовой класс. А далее в действие вновь вступают первый и второй принципы порождения, расширяя последовательность ординальных чисел. Кантор доказал, что второй числовой класс не может быть поставлен в одно-однозначное соответствие с первым классом и не существует множества с кардинальностью между этими двумя классами. Таким образом, кардинальное число второго числового класса есть следующее за К0, и именуется оно N г Любое множество, чье ординальное число есть со, или больше, имеет кардинальное число большее KQ.

В обобщенном виде третий принцип порождения трансфинитных чисел формулируется так: все числа, образуемые вслед за соа, должны быть такими, что совокупность чисел, предшествующая каждому такому числу, должна иметь то же кардинальное число, что и (а + 1)-й числовой класс. Эти числа будут тогда составлять (а + 2)-й числовой класс.