4. Непрерывное и дискретное

Если существуют, по крайней мере, два кардинальных числа, одно из которых больше другого, а именно, Х0 и 2 в степени К0 тогда возникает вопрос, что же представляет собой это второе кардинальное число. Естественным ответом было предположение о том, что это число точек на линии. Это поднимает более общий вопрос о природе континуума. Рациональное его понимание состоит в попытке «сосчитать» его, сопоставить непрерывности геометрической меру арифметическую. Другими словами, может ли линейный континуум быть отождествлен с множеством чисел, например, множеством действительных чисел. Ясно, что утверждение о том, что число точек на линии равно 2 в степени X д, не имеет смысла без положительного ответа на второй вопрос.

В истории математики вопрос о природе концепции функции представлен спором Эйлера и Даламбера. Последний понимал функцию как алгебраическое выражение, а первый — как геометрическую фигуру. Спор, продолжавшийся многими математиками и после Эйлера и Даламбера, завершился (в известной степени) победой «алгебраической» точки зрения, поскольку как показал Фурье, любую «патологическую» (неизобразимую) с геометрической точки зрения функцию можно представить в виде бесконечного ряда тригонометрических функций. Эти функции описывают колебательные процессы. Принимая во внимание бесконечную делимость континуума, следует признать, что не существует предела частотам колебаний, которые могут быть упакованы в данный интервал, а также амплитуде этих колебаний. А можно ли говорить о бесконечной частоте? То есть, независимо от того, какой бы величины не был интервал (как бы мал он ни был), могут ли быть внутри него колебания? Утвердительный ответ на этот вопрос дают патологические функции, среди прочих, функция Вейерштрасса (везде непрерывная, но нигде не дифференцируемая) и функция Римана (с бесконеч- но многими разрывами между двумя пределами, но в то же время интегрируемая).

Если возможны бесконечно плотные колебания, тогда становится ясно, что однородный линейный континуум имеет сложную структуру. В этом случае алгебраический способ представления функции превосходит геометрический. Действительно, графики с бесконечными разрывами или скачками функции, «невидимые глазу», т.е. невыразимые в геометрическом представлении, могут быть представлены только в алгебраическом виде как совокупность точек. Функции становятся множествами точек, и каждое множество имеет приписанное ему число, а также сложную порядковую структуру.

Все предыдущие рассуждения сделаны в предположении существования пределов бесконечных рядов (скажем, для тригонометрических функций Фурье). При сопоставлении точек и чисел (на самом деле, действительных чисел) важен вопрос сходимости рядов, поскольку действительные числа определяются как пределы последовательности рациональных чисел. Не менее важен вопрос о существовании таких пределов. Как и прежде, мы хотели бы выявить логическую структуру математических построений. В данном случае следует отметить, что часто такие пределы вводятся определениями, что не предполагает существования пределов.

Дедекинд определил действительные числа таким образом, что связь между понятиями «точки на линии» и «действительного числа» становится вполне понятной. Поскольку рациональные числа, представляющие точки на линии, не исчерпывают всех точек (что видно из знаменитого аргумента о непредставимости с 72 никаким рациональным числом), требуется введение новых чисел, которые, во-первых, «завершили» бы линию, а во-вторых, были бы естественным расширением понятия числа, не противореча арифметическим свойствам предыдущих чисел. Причем это должны быть такие числа, которые восполнят то, чего не хватает до непрерывности. Другими словами, новые числа должны дать все точки прямой линии.

На вопрос, «Из чего все-таки состоит непрерывность», который задал себе Дедекинд, он дал ответ в виде теории действительных чисел. В основе решения Дедекинда лежит введенное им понятие «сечения». Все точки прямой линии делятся на два класса; каждая точка первого класса лежит слева от каждой точки второго класса.

Как уже было сказано, цель конструирования новых чисел состоит в создании непрерывной числовой области. Если сечения должны сыграть роль в решении этой задачи, тогда нужно объявить все сечения, производимые нерациональными числами, этими новыми числами. Дедекинд назвал их иррациональными числами. Эти числа полностью определены сечениями, и кроме того, Дедекинд полагал, что эти числа создаются выборкой множеств рациональных чисел, и при этом не рассматривается, как множества специфицируются. Таким образом, предполагается существование произвольных выборок из данного множества, что вновь подтверждает ключевую роль аксиомы выбора в определении действительных чисел.

В некотором смысле более конструктивная позиция в «изобретении» действительных чисел занята Кантором. Он определяет такое число как бесконечно сходящуюся последовательность рациональных чисел, которая не имеет рационального предела. Отношение порядка среди таких чисел должно строиться на основе приближений. Пусть имеется последовательность <а> = Ь,и последовательность <а'п> ~ Ь'. Роль приближений видна из следующих рассмотрений: например, для любого положительного рационального числа є имеется целое число к такое, что для всех п> к, если ап—а' > є, тогда b > Ъ'. Кантор далее постулировал, что каждому элементу В соответствует единственная точка на линии, так что у Кантора уже есть при этом арифметическая модель континуума. Объекты Ъ ведут себя как числа, но Кантор прибегает к итерации описанного процесса, получая все более точные приближения. Мотив для такой итерации состоит в том, что Кантор хотел отразить сложную тонкую структуру, а именно, порядковую структуру точек на плоскости. Это, по мысли Кантора, позволило бы характеризовать распределение точек в континууме. Таким образом, при построении теории действительных чисел Дедекиндом и Кантором устанавливается связь между действительными числами и точками на линии. Кардинальное число множества точек на линии есть то же самое, что кардинальное число множе- ства действительных чисел на интервале (0,1), а это в свою очередь равно кардинальному числу множества-степени натуральных чисел P(N). Таким образом, мы можем установить, что число точек на линии равно C(P(N)) = 2м.

Однако проясняет ли это вопрос о том, сколько на самом деле точек на линии? Для этого надо знать, что означает операция возведения в степень в случае бесконечных чисел. Мы знаем, что кардинальное число множества-степени множества натуральных чисел больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел. Используя этот результат, мы получаем иерархию множеств N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N)))... с кардинальными числами К02 в степени Х02 в степени 2 в степени Х0 и т.д.

Операция образования множества-степени в случае конечных множеств (экспоненциальная процедура) не ведет нас от одного кардинального числа к следующему, поскольку между ними находится много других чисел, в то время как в случае бесконечных множеств такая операция определяет и порождает следующее кардинальное число. Эта последовательность кардинальных чисел упорядочена, поскольку каждое последующее кардинальное число больше предыдущего. Но мерой чего являются все эти кардинальные числа? И могут ли быть между ними другие кардинальные числа? В случае конечных множеств кардинальные числа служат мерой счета, а в случае бесконечных множеств — мерой размера множеств. Разрыв между двумя этими понятиями непреодолим, так что мы не можем иметь такую числовую шкалу, которая дала бы нам меру бесконечных множеств. Но как мы ранее видели, кардинальные числа были введены без всякой связи с понятием счета и отношением порядка.

Спекулируя относительно последовательности кардинальных чисел, Кантор предположил, что следующим кардинальным числом за кардинальным числом множества натуральных чисел является 2 в степени Х0. Мерой континуума является второе кардинальное число. Такое предположение носит имя континуум- гипотезы, одного из наиболее интересных и спорных положений теории множеств.