6. Континуум-гипотеза

Задача определения меры континуума, т.е. определения мощности множества точек на линии, может быть поставлена в терминах кардинальных и ординальных чисел. Как будет указано позднее, два вида чисел были введены Кантором независимым образом, и поэтому такая постановка вопроса вполне допустима с точки зрения логики. Имеется иерархия кардинальных чисел, Х0, X,,... . Число точек на линии равно 2К0, т.е. это число больше множества с мощностью К . Естественно было бы предположить, что раз вслед за К 0 идет К тоща число точек на линии равно Хрт.е. 2*°= К,. Это утверждение, которое действительно сделал Кантор, называется континуум-гипотезой. Почему эта гипотеза была столь важной для теории Кантора?

Более общая постановка вопроса о соотношении шкалы алефов и мощности континуума состоит в обнаружении того, какой из алефов представляет число точек на прямой линии. Кантор посчитал, что это N . Эквивалентное утверждение состоит в следующем: любое бесконечное подмножество континуума имеет мощность либо множества целых чисел, либо всего континуума67. Происхождение этого утверждения также понятно из предположения Кантора о том, что система алефов есть не что иное, как система всех трансфинитных кардинальных чисел. А это значит, что мощность континуума должна быть среди системы алефов68.

Что собой представляет система алефов? Как уже было указано, множество всех трансфинитных чисел никогда не может быть полностью понято, будучи, по мнению Кантора, Абсолютом в рели- гиозно-метафизическом смысле. Именно по этой причине уже известные ему парадоксы теории множеств не беспокоили Кантора, который полагал непротиворечивость своей теории установленным фактом. Полная последовательность трансфинитных чисел существует как абсолютная сущность в неизменном и непостижимом уме Бога. Но учитывая парадокс, который носит его имя, он был вынужден ограничиться только так называемыми непротиворечивыми множествами. При этом он надеялся, что континуум-гипотеза не будет пустой комбинацией бессмысленных символов. Континуум, будучи вполне-определенным и самозамкнутым множеством элементов, должен быть также непротиворечивым множеством, и таким образом, должен быть эквивалентным по мощности некоторому трансфинитному алефу. В системе этих предположений недоставало последнего шага, а именно, доказательства 2К0 = X

Именно поэтому некоторые математики называли утверждение Кантора о том, что континуум равен X,, основной догмой Кантора. Уже говорилось, что идеи Кантора встретили резкое сопротивление большинства современных ему математиков. Превосходной иллюстрацией этого является драматический эпизод, связанный с «основной догмой Кантора». «Основная догма» заслуживала самого тщательного внимания, свидетельством чего является то, что Д. Гильберт, выступая с докладом на Втором международном конгрессе по математике, который состоялся в Париже во время Всемирной выставки в 1900 г., дал перечень основных нерешенных проблем в ма- тематике, которые предстоит решать в XX в. Список возглавляла континуум-гипотеза Кантора.

На Третьем международном конгрессе по математике, который состоялся в Гейдельберге в 1904 г., Г. Кантору бросил вызов Юлиус Кениг из Будапешта, в докладе которого было показано, что мощность континуума Кантора вообще не мощность алефов. Больше того, он показал, что континуум не может быть вполне упорядочен, что подрывало «вторую догму» Кантора, что любое множество может быть вполне упорядочено. Кантор был в шоке от того, что две главные фундаментальные доктрины трансфинитной теории множеств были почти подкошены. Даже местные газеты были полны сообщений о сенсационном открытии Кенига, а герцог Бадена попросил Ф. Клейна объяснить ему суть проблемы. Однако через 24 часа ситуация изменилась. В своем доказательстве Кениг использовал так называемую теорему Бернштейна, и хотя Кениг имел среди своих коллег репутацию чрезвычайно надежного в доказательствах человека, в использовании этой теоремы он допустил ошибку, которая была обнаружена Э. Цермело.

В течение ряда лет Кантор пытался доказать свою гипотезу, но не преуспел в этом. Однако исследования на этом пути привели к примечательным результатам, из которых наиболее интересно выделение аксиомы выбора, вокруг которой до сих пор бушуют споры математиков. Как отмечает К. Гедель, так и не установлена мощность континуума, в частности, не определена даже верхняя граница, какой бы большой она ни была, мощности континуума69. В то же время известны многие интересные следствия континуум-гипоте- зы, а также эквивалентные ей утверждения. Как отмечает Гедель, трудности в доказательстве континуум- гипотезы с первого взгляда кажутся удивительными. Поскольку речь идет о «вычислении» 2Х0, возникает предположение, что все упирается в «таблицу умножения» кардинальных чисел. Однако произведение трансфинитных чисел не может быть оценено с точки зрения нахождения верхней границы результата умножения. Заранее скажем, что континуум-гипотеза оказалась неразрешимым утверждением. Доказательство этого примечательного факта обязано К. Ге- делю и Дж. Коэну. Континуум-гипотеза неразрешима в том смысле, что при условии непротиворечивости аксиоматической теории множеств Цермело — Френкеля добавление к ней континуум-гипотезы не приводит к противоречию.

Поскольку континуум-гипотеза связана с многими интересными результатами, дискуссии в пользу ее принятия или отвержения ведутся с привлечением «правдоподобных» аргументов, а именно, как соотносится континуум-гипотеза с другими аксиомами теории множеств, а также с различными фактами в теоретико-множественных исследованиях. В настоящее время ситуация с континуум-гипотезой может быть охарактеризована рядом положений, среди которых интерес для философов представляют следующие. Во-первых, нынешние математики в целом не разделяют убеждение Кантора в правильности континуум-гипотезы. Во-вторых, континуум- гипотеза следует из аксиом Цермело — Френкеля и аксиомы конструируемое™ Геделя (V = L). Но многие исследователи полагают последнюю аксиому слишком ограничительной, и поэтому сомнения в ее отношении бросают тень на континуум-гипотезу. В-третьих, те, кто не верит в правильность континуум-гипотезы, полагают, что континуум имеет очень большое кардинальное число, большее, чем X . (Такая оценка предполагалась Геделем. В этой связи можно упомянуть апокрифический случай с Н. Лузиным, который на одном из семинаров, после долгих безуспешных попыток решить проблему континуума, заявил, что он, наконец, знает, какова мощность континуума — это X ?! Этот анекдот говорит о том, какой шутливый произвол может быть в суждениях математиков при отсутствии более или менее четких очертаний в обретении понимания природы континуума.) Одна из работ Д. Мартина может быть интерпретирована так, что континуум имеет мощность Хг

Результат независимости континуум-гипотезы ставит вопрос о том, имеет ли это утверждение истинностное значение вообще. В пользу таких сомнений может быть приведено два соображения — одно философское, другое — математическое. Философское было высказано в начале этого раздела, когда говорилось, что слишком богатые выразительные средства, созданные для решения одной задачи, могут привести к формулировке вопросов, на которые нет ответа70. Такой подход к пониманию природы континуум-гипотезы во многом перекликается с мнением Геделя: «Однако эта негативная позиция... никоим образом не является результатом тщательного рассмотрения оснований математики, и является результатом лишь определенной философской позиции в отношении природы математики»71.

Что касается математического соображения, то тут следует отметить, что неразрешимость континуум-гипотезы в системе Цермело— Френкеля еще не есть окончательное суждение о наличии у гипотезы истинностного значения. В конце концов, аксиоматическая система Цермело — Френкеля не является привилегированной, и впоследствии могут появиться и другие аксиомы. Так, Дж. Коэн указывал, что континуум как невероятно большое множество может быть задан четкой новой аксиомой, и такое множество не может быть получено поэтапным процессом конструирования (который гарантируется аксиомами Цермело — Френкеля).

В конечном счете, все упирается в то, какая философская позиция принимается математиком. С точки зрения платониста, который рассматривает математические объекты как существующие независимо от человеческих ментальных конструкций, континуум-гипотеза либо истинна, либо ложна. Формалист же ограничится результатом независимости континуум-гипотезы, хотя ему придется столкнуться с проблемой интерпретации этого странного результата. Сами математики, будучи по большей части формалистами, предпочитают в «официальных» разговорах не говорить об «истинности» или «ложности» континуум-гипотезы.

Подобная дискуссия поднимает более общие вопросы о том, имеют ли многие вопросы в математике определенное истинностное значение. Это касается «философской совести» математиков, и поскольку философские позиции могут варьироваться, ситуация может быть в высшей степени вариативной. Финитисты доверяют суждениям только в отношении целых чисел, в то время как плато- нист доверяет суждениям о трансфинитных числах. Между двумя этими крайностями есть множество позиций, которые хорошо видны из следующего опыта с исследователями в области теории множеств72. Им были предложены десять утверждений, и пять вариантов ответа на них. Утверждения были таковы: 1) 2 + 2 = 4; 2) последняя теорема Ферма (тогда она еще не была доказана); 3) аксиомы Пеано непротиворечивы; 4) аксиомы Цермело — Френкеля непро- тиворечивы; 5) основные теоремы анализа; 6) гипотеза Римана; 7) аксиома выбора; 8) континуум-гипотеза; 9) существуют несчетные предельные кардиналы; 10) существуют измеримые кардиналы.

Ответы были таковы: 1) истинно; 2) ложно; 3)либо истинно, либо ложно, но неизвестно, что именно; 4) ни истинно, ни ложно; 5) либо (ложно или истинно, но неизвестно, что именно), либо (ни истинно, ни ложно), но неизвестно, что именно. Только два человека из опрошенных были настоящими платонистами, ответы которых ограничивались первыми тремя вариантами. Это подрывает убеждение в том, что по большей части математики верят в объективность изучаемого ими мира. Автор книги Основания конструктивного анализа Э. Бишоп сделал в этой связи знаменитое замечание: «Математика принадлежит человеку, а не Богу. Нас не интересуют свойства целых положительных чисел, которые не имеют дескриптивного значения для человека как существа, ограниченного в своих возможностях. Когда человек доказывает существование целого положительного числа, он должен знать, как найти его. Если у Бога есть своя математика, которая требует разработки, оставьте эту задачу Ему»73.