3. Переход к трансфинитному

Рассмотрим два множества, А и В. Пусть С есть кардинальное число каждого из этих множеств, т.е. число, показывающее их «размер». Их можно сравнивать в соответствии со следующим определением:

С (А) < С(В), если и только если, имеется подмножество В* множества В такое, что С(В*) = С(А).

Таким образом можно ввести отношение порядка среди множеств. Но для того чтобы знать, что это определяет даже частичный порядок, необходимо знать, что

С(А) < С(В) & С(В) < С(А) => С(А) = С (В).

Это теорема Шредера — Бернштейна, согласно которой если имеется подмножество В* множества В такое, что существует одно-однозначное соответствие между А и В*, и существует подмножество А* множества А такое, что существует одно-однозначное соответствие В и А*, тогда существует одно-однозначное соответствие между А и В.

Для конечных множеств эта процедура сравнения множеств интуитивно понятна, но в случае бесконечных множеств возникают проблемы. Действительно, рассмотрим общий случай сравнения двух множеств А и В.

Пусть даны два множества Aw. В. Тогда имеются четыре комбинаторные возможности:

1) С(А) = С(В); 2) С(А) < С(В); 3) С(А) > С(В); 4)АиВ несравнимы в отношении кардинальности.

С точки зрения конечных множеств последний вариант не имеет смысла, потому что каждая конечная совокупность имеет определенное число элементов, и эти числа упорядочены отношением «меныпе-чем» или «болыпе-чем».

Для общей трактовки конечных и бесконечных множеств следует ввести определение, которое подходило бы для тех и других. Или же следует показать, что законы для трансфинитных чисел не противоречат законам для конечных чисел. Но надо сразу заметить, что кардинальные числа для бесконечных множеств (далее, просто кардинальные числа) имеют особую арифметику, на которой мы здесь не останавливаемся. В духе принятой Кантором посылки эта арифметика позволяет выразить соотношение между кардинальным числом данного множества^ и его множеством-степенью Р(А), потому что имеется одно-однозначное соответствие между подмножествами А и множеством всех функций / от А к множеству из двух элементов {0, 1}, где каждое подмножество рассматривается как те элементы из А, для которых/принимает значение 1. Отсюда следует, что кардинальное число множества-степени от множества А равно 2, возведенному в степень кардинального числа Л. Другими словами,

С(Р(А)) = С(2А) = 2С(А).

На основании уже установленных результатов можно видеть некоторые соотношения в мире трансфинитных чисел. Кардинальное число точек на линии есть то же самое, что кардинальное число множества действительных чисел в интервале (О, 1). Далее, кардинальное число множества действительных чисел в интервале (0, 1) равно кардинальному числу множества-степени множества натуральных чисел P(N). Но тогда число точек на линии равно C(P(N)) = 2*°. Возникает вопрос, в каком соотношении находятся понятия непрерывной линии и ее точек, рассматриваемых как множества. Это подводит нас к рассмотрению соотношения непрерывного и дискретного.