Основные ПОНЯТИЯ и допущения логики предикатов

Согласно одному из допущений JIB внутренняя структура простых высказываний не учитывается. Если это ограничение снять, мы получим важное обобщение логики высказываний, названное логикой предикатов.

Логика предикатов — логика, созданная для анализа умозаключений, в которых истинность заключения зависит не только от истинности посылок, но также и от их внутренней логической структуры.

Для анализа внутренней структуры высказываний в логике предикатов дополнительно к основным понятиям ЛВ были введены понятия универсума, имени собственного, предметной константы, предметной переменной, предиката, терма, предметной функции, квантора. Кроме того, использование ЛИ требует принятия особых допущений.

Как и в традиционной логике, в логике предикатов все вычисления привязаны к понятию универсума.

Универсум U логики предикатов — класс вещей с заданными свойствами и отношениями.

Универсум задает предметную область интерпретации анализируемого рассуждения, позволяет вычислить его логическое значение. Чтобы обсуждать вещи универсума, необходимо для каждой из них иметь имя собственное — имя, которое обозначает эту и только эту вещь.

Имя собственное в логике предикатов — термин, обозначающий отдельную вещь универсума.

Логика предикатов, как и традиционная логика, связана с допущением невозможности существования пустых имен, т. е. таких терминов, которым в рассматриваемом универсуме ничего не соответствует (которые не обозначают ни одной вещи универсума).

Допущение иепустоты универсума. Каждому имени собственному должна соответствовать некоторая вещь универсума.

В логике предикатов неважно, каким именем обозначается та или иная вещь, важно, какая вещь обозначается. Поэтому если два и более различных имени обозначают одну и ту же вещь, то незави- симо от различия своих иитенсионалов (смыслов) они считаются экстенсионально взаимозаменяемыми.

Допущение экстенсиональности. Если два различных имени обозначают одну и ту же вещь, они считаются взаимозаменяемыми и обладают одним и тем же значением истинности.

Как и в логике высказываний, в логике предикатов сохраняется допущение бивалентности.

Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание ЯП либо истинно, либо ложно.

Из-за необходимости учитывать внутреннюю структуру высказываний атомарные формулы ЛП значительно отличаются по своей структуре от атомарных формул ЛВ. Напомним, что в ЛВ атомарной формулой считается знак (прописная буква латинского алфавита), обозначающий простое высказывание.

Допустим, задан некоторый универсум U. Относительно каждой его вещи ее имя собственное может быть известно или неизвестно. Если имя собственное вещи известно, то она обозначается одной из строчных начальных букв латинского алфавита a, Ь, с, ... и называется предметной константой. Значение, т. е, обозначаемая вещь, каждой предметной константы фиксировано и не может быть произвольно изменено. Если же имя собственное вещи неизвестно, то она обозначается одной из строчных конечных букв латинского алфавита х, у, z,... и называется предметной переменной. Предметные переменные не имеют фиксированного значения. Их главная функция состоит в там, чтобы обозначать все вхождения одного и того же имени. Иными словами, на место каждой предметной переменной одно и то же имя должно подставляться столько раз, сколько имеется ее вхождений.

Различие между предметными константами и переменными поясняет следующий пример. Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая вещь из универсума U обладает свойством Р. Это можно сделать двумя способами: либо как Ра, если а — известное имя собственное вещи, либо как Рх, если имя собственное вещи не известно. Выражение Ра читается: «Данная вещь а из универсума U обладает свойством /V Выражение Рх читается «Произвольная вещь х из универсума U обладает свойством Р». Фундаментальное различие между обоими случаями состоит в том, что выражения вида Ра, РЪ, ... можно оценивать как истинные или ложные, а выражения вида Рх, Ру,... — нельзя.

Пусть U = «пищевые продукты», Р = «сладкий», а = «сахар», Ь ~ «соль». Тогда выражение Ра = «Сахар сладкий» истинно, а выражение РЬ = «Соль сладкая» ложно. Сказать же, что Рх = «Произвольный пищевой продукт сладкий» истинно или ложно, бессмысленно, потому что неизвестно, о каком именно пищевом продукте идет речь. Знак х обозначает любую съедобную вещь или, как говорят, «пробегает» по всем вещам рассматриваемого универсума. Значит, чтобы выражение ЛП, содержащее вхождения предметных переменных, можно было интерпретировать как истинное или ложное высказывание, их необходимо заменить соответствующими им предметными константами.

Допустим, необходимо формализовать утверждение, что некоторая вещь находится в определенном отношении к другой вещи. Здесь также различаются указанные выше два случая. Выражение вида Rxy означает «Произвольные вещи jc и у из универсума U находятся в отношении R друг к другу». Сказать об отношении Rxy, истинно оно или ложно, нельзя до тех пор, пока не станет известно, какие именно вещи обозначают переменные х и у. Пусть U = «числа», а = 3, b-4, R = «больше». Тогда неопределенное с истинностной точки зрения выражение Rxy превращается в ложное высказывание Rab = «3 больше 4».

Традиционно предикатом называется мысль, обозначающая либо свойство, которым обладает или не обладает данная вещь, либо отношение, в котором находится или не находится рассматриваемая вещь к другим вещам.

Предикат — логическая функция, отображающая собственные имена вещей (предметные константы) в множество логических значений {Т. F}-

Выражения вида Р1х принято называть одноместными (одноар- гументными) предикатами. Их отличительная особенность в том, что они обозначают свойства вещей. Выражения вида Р*ху называют двухместными (двухаргументными) предикатами. Их особенностью является то, что они обозначают бинарные отношения. В общем выражения вида Рп принято называть п-местными предикатами, обозначающими л-местные отношения, п > 0. В случае предикатная буква обозначает простое высказывание ЛВ, которое по допущению бивалентности либо истинно, либо ложно. Так как атомарные формулы ЛВ сводимы к виду Я0, то они все являются атомарными формулами ЛП.

Верхними индексами для обозначения местности предиката можно и не пользоваться, так как число мест предиката легко определяется по числу предметных переменных, которыми он управляет. Например, Р* означает, что после предикатной буквы Р должны стоять три предметных переменных — Pxyz.

Если необходимо формализовать операцию, отображающую множество предметных констант в это же множество по определенному закону, тогда используют соответствующую этой операции предметную (т. е. не логическую) п-местную функцию. Известные арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление — представляют частные случаи таких функций. Двухместная функция сложения J[a, b), определенная на множестве натуральных чисел, ставит в соответствие паре определенных натуральных чисел а и b новое число с из этого же множества в качестве результата их суммы: а + Ь = с. Например,

ли 2) = XMU2),ли 2)) =/3, 3) = 3 + 3 = 6.

Предметные константы и предметные переменные принято объединять общим именем — простой терм (от англ. term). Понятие терма обобщает понятия субъекта в традиционной логике.

К числу сложных термов относятся п-местные функциональные знаки, п > О, сопровождаемые п предметными константами или переменными в качестве простых термов.

Объединение термов с предикатной буквой порождает атомарную формулу ЛП. Основным правилом в этом процессе является следующее: п-местной предикатной букве должно соответствовать п термов. Таким образом, выражение Р1 не является атомарной формулой ЛП, так как предикатный символ не сопровождается тремя термами, а выражение вида Pabx — является. Если t\,tn — произвольные термы, Р" — произвольный «-местный предикат, то атомарная формула ЛП имеет следующий канонический вид — Рц ...,„, п > 0. Только атомарным формулам ЛП и построенным из них сложным формулам можно приписывать то или иное значение истинности.

Некоторые формулы ЛП с вхождениями предметных переменных могут быть квантифицированы. Кванторы в ЛП играют такую же роль, как и знаки количества — «все», «ни один», «некоторые» — в традиционной логике. Они определяют количественные границы свойств и отношений, обозначаемых предикатами.

Пусть универсум состоит из трех вещей, каждая из которых имеет свое собственное имя, U - (а, Ъ, с). Если необходимо сказать, что все вещи данного универсума обладают свойством Р, то это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно построить конъюнкцию: (Ра & РЪ & Рс), которая истинна, если и только если истинны все ее конъюнкты. Во-вторых, можно использовать специальное сокращение, называемое квантором общности и ставящееся перед той формулой, Рх в данном случае, количественную характеристику которой оно определяет: (х)Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор общности, (х)Рх, читается: «Каждый дг обладает свойством Р», «Для всех х имеет место свойство Р». Формула -(дг)Рх читается «Неверно, что каждый х обладает свойством Р». Формула [х)-~лРх читается «Ни один х не обладает свойством Р».

Если необходимо сказать, что некоторые вещи рассматриваемого универсума обладают свойством Р, то это можно сделать также двумя способами. Во-первых, можно построить дизъюнкцию (Pa vPbv Рс), которая истинна, если и только если истинен по крайней мере один ее дизъюнкт. Во-вторых, можно использовать специальное сокращение, называемое квантором существования и ставящееся перед тем выражением, количественную характеристику которого оно определяет: (Ех)Рх. Формула Рх, перед которой поставлен квантор существования, (Ех)Рх, читается «Существует такой х, который обладает свойством Р», «По крайней мере для одного х имеет место Р». Формула —і(Ех)Рх читается «Неверно, что существует такой х, который обладает свойством Р». Формула (Ех)-Рх читается «Некоторые х не обладают свойством Р».