4. Выход за пределы финитизма

С этой точки зрения получает полную реабилитацию генценовский подход к обоснованию непротиворечивости арифметики как проведенный в рамках онтологически истинных принципов. Мы оправдываем также доказательства непротиворечивости арифметики, основанные на использовании семантических средств. К этому типу доказательств относится доказательство непротиворечивости ограниченной арифметики П.С. Новикова, основанное на понятии регулярности63. К этому типу доказательств может быть отнесено также доказательство непротиворечивости арифметики Н.М. Нагорного, которое исходит из понятия реализуемости64. Оба этих доказательства несомненно выходят за пределы финитности в исходном гильбертовском и гёделевском понимании, являясь вместе с тем абсолютно корректными с точки зрения своей надежности.

Положение об онтологической истинности метатеории представляется ограниченным в том отношении, что оно требует ее построения только на основе аподиктически очевидных утверждений. Гильбер- товская метатеория не вполне удовлетворительна в этом отношении. Хотя первоначально Гильберт выдвигал требование содержательной истинности принципов метатеории, впоследствии он отступил от этого требования. Введение трансфинитной аксиомы, конечно, делает метатеорию неудовлетворительной в этом отношении.

Имеются основания предполагать, что в данном случае этот дефект может быть устранен. Введение трансфинитной аксиомы мотивировано у Гильберта не ее содержательной ясностью, а ее эффективностью: она позволяет восстановить закон исключенного третьего, обосновать принцип трансфинитной индукции и операции с действительными числами, которые Дедекинд обосновывает на основе аксиомы непрерывности. Если, однако, мы вправе утверждать онтологическую истинность всех этих следствий, то имеются основания предполагать, что трансфинитная аксиома может быть либо выведена из них, либо заменена ими на основе дедуктивной эквивалентности. Нет никакой необходимости оправдывать закон исключенного третьего на основе искусственной аксиомы, когда он может быть принят непосредственно как онтологически оправданная и абсолютно надежная норма всякого мышления! Иначе говоря, у нас есть основания думать (хотя, конечно, здесь необходимо логическое исследование), что вся гильбертовская теория доказательства, необходимая для обоснования анализа, может быть приведена в соответствие с критерием аподиктической очевидности. Нет никаких сомнений в том, что математический анализ может быть строго обоснован в соответствии с формалистским подходом при разумном расширении метатеории.

Преимущество онтологически истинной метатеории перед содержательной и неясной в своих границах метатеорией Гильберта состоит в том, что ее принципы имеют исчерпывающее обоснование своей надежности.

Как показывают исследования, значительные фрагменты теории множеств обосновываются в своей непротиворечивости на основе математического анализа. Это является доказанным, к примеру, для аксиоматики ZF без аксиомы подмножеств65. Это значит, что формалистская программа при снятии неоправданных ограничений может стать полноценной программой абсолютного обоснования всех основных теорий современной математики. Как и в других случаях, основная проблема состоит здесь в углублении анализа методологических предпосылок этой программы.

Следует отметить, что формалистская программа появилась значительно более обоснованной в философском отношении, чем программы логицизма и интуиционизма. Является важной прежде всего общая установка Гильберта на практическое понимание математического мышления. Математика для Гильберта —? не шахматная игра, а орудие познания мира; вследствие чего ее адекватное обоснование должно быть обоснованием всех его практически признанных методов. Отсюда проистекает у Гильберта установка на сохранение всей работающей математики. Обосновательное сомнение у него, также как и у Декарта, имеет только методологический характер; оно призвано, в конечном итоге, восстановить все существующее на другом уровне строгости. Другая важная черта гильбертовской программы, имеющая философское значение, состоит в ее установке на окончательное обоснование. Гильберт исходил из абсолютной надежности элементарной математики как из факта, доказанного всей математической практикой. Признание априорности элементарной математики делает естественным предположение, что и все остальные теории на определенном уровне своего развития достигают той же ступени логического совершенства. Эта установка Гильберта, отвергающая всякий релятивизм, является несомненно правильной. В настоящее время становится все более ясным, что адекватная теория познания должна оправдать математику как сферу абсолютного знания.

Основной недостаток программы Гильберта состоял в неразработанности понятия метатеории. Ограничение сферы надежной метатеории финитностью и арифметизируемостью, конечно, не является адекватным и требует пересмотра. Из сказанного следует, что действительная сфера надежной математики может быть определена только через выявление онтологических оснований математического мышления и, таким образом, через привлечение гносеологических критериев.