<<
>>

1. Сущность интуиционистской программы

В понимании интуитивной данности исходных математических объектов Брауэр следует за Кантом. Однако он принимает лишь интуицию времени, полагая, что интуиция пространства поколеблена открытием неевклидовых геометрий.
В основе математики, по Брауэру, лежит интуиция натурального ряда, которая выражается прежде всего в представлении о возможности его неограниченного продолжения. Проблемы обоснования потенциальной бесконечности для Брауэра не существует: она снимается на основе непосредственной очевидности непрерывного продолжения натурального ряда через последовательное осуществление интуитивно ясной операции прибавления единицы к каждому вновь полученному числу.

Требование конструктивности всех допустимых объектов существенно ограничивает логические средства, приемлемые в интуиционистской математике. Если математика должна расширяться только в пределах возможного конструктивного оправдания, то она должна исключить из логических правил закон исключенного третьего и правило снятия двойного отрицания, так как их принятие ведет к признанию утверждений о существовании, не имеющих конструктивного оправдания. Понятие отрицания получает при этом специфический смысл, отличный от его трактовки в традиционной логике: мы можем отрицать здесь общее суждение только посредством построения контрпримера, а утверждение о существовании некоторого объекта только через сведение к противоречию допущения о его существовании. Логические константы и кванторы вследствие этого должны получить существенно другое значение, также определенное идеей построения: мы полагаем некоторое суждение истинным для всех значений переменной, если мы имеем возможность конструктивного обоснования его истинности для любого из этих значений.

Логика у Брауэра не просто ограничивается, она фактически устраняется в качестве автономного фактора расширения множества математических суждений, ибо доказанное посредством логических схем должно обосновываться и на основе математической конструкции, не предполагающей каких-либо схем логического вывода.

Логика в интуиционизме, таким образом, выполняет лишь функцию сокращения конструктивных рассуждений, но не функцию выведения их за границы, определенные собственно математическими предпосылками.

Интуиционистская философия математики в отличие от логицистской последовательно антиреалистична. Математические объекты понимаются здесь лишь как мысленные конструкции, не имеющие какого-либо существования, независимого от конструктивной деятель- ности сознания. Брауэр считает, что законы математики не:имеют статуса законов физики, ибо если бы человечество было вдруг уничтожено, то в мире не осталось бы никакой реальности, представляющей математические теоремы, в то время как физические законы как объективные связи продолжали бы существовать. Математическое творчество, с этой точки зрения только изобретение, но никоим образом не открытие и не отражение какой-либо реальности. Интуиционизм Брауэра в этом смысле прямой антипод платонизму логицистов, которые неизменно наставали на предсуществовании математических объектов и на их тождестве в этом отношении объектам географии и зоологии.

Хотя Брауэр принимает априорное представление о времени как интуитивную основу арифметики, было бы ошибочным рассматривать его общую философскую установку как вариант априоризма. Он допускает зависимость логики от содержания мышления, подчеркивает мысленный статус математических истин и их зависимость от интеллектуальной активности субъекта, обсуждает математическую интуицию исключительно как факт психологии. У Брауэра отсутствует идея априорной формы мышления, которая стоит выше психологии и всякой конструктивности. Он усматривает сущность математических объектов в актах свободного конструирования, но не в экспликации трансцендентальных форм мышления.

Наиболее радикальное отличие интуиционизма от логицйзма и формализма состоит в понимании роли знаков и символического языка в математическом мышлении. Намерение Фреге, как мы видели, состояло в том, чтобы заменить расплывчатый язык математических рассуждений языком символов и строгих определений.

Брауэр, напротив, видит в символическом языке нечто чуждое природе математического мышления. Идеально строгое мышление, по Брауэру, протекает на уровне мысленного конструирования, на уровне непосредственного сцепления интуитивно ясных представлений, которые лишь более или менее адекватно могут быть отражены в рамках символов и формальных определений. Брауэр считает, что формальный язык математики уводит нас в сторону от математической истины, как только он уходит из-под контроля непосредственного интуитивного восприятия объектов. Логицисты, по его мнению, выдают за суть математики лингвистическую структуру, пригодную лишь в качестве средства передачи математической мысли. Брауэр, таким образом, ищет строгость математики не в очевидности символических построений, а в очевидности самих математических объектов, в их непосредственной данности сознанию. Символический язык, согласно Брауэру, может использоваться в математике лишь в тех пределах, в которых он не становится самодовлеющим, заменяющим математику как процесс построения и эффективного исследования конкретных математических объектов.

При таком подходе аксиоматическое определение теории полностью теряет смысл, а за механизмом логической дедукции остается лишь роль схематизации конструктивных выводов.

Интуиционизм как определенное видение предмета математики, состоящее в том, что математические абстракции не должны терять связи с конкретными объектами и интуитивно ясными операциями, появился задолго до появления парадоксов в теории множеств. Эту идеологию мы видим в высказываниях Гаусса и Кронекера. Оба этих математика были убеждены в том, что актуальная (завершенная) бесконечность не может быть предметом математического рассуждения, и что математика для того, чтобы оставаться строгой дисциплиной, не должна уходить из сферы объектов, относительно которой мы имеем право выносить проверяемые суждения. Это были, однако, доводы, проистекающие скорее из абстрактной философии, чем из каких-либо реальных затруднений. Появление парадоксов в логике и в теории множеств превратило эту старую идею в практически значимую методологию. Уже в первых своих работах по основаниям математики Брауэр связывает интуиционизм с проблемой устранения парадоксов и высказывает убеждение, что окончательное избавление от них возможно лишь через принятие интуиционистского взгляда на математику и на границы применения классической логики30. Интуиционизм приобретает статус программы обоснования математики, становится системой требований к перестройке математического знания, устраняющей некорректность обычных (классических) доказательств.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 1. Сущность интуиционистской программы:

  1. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ, СТРУКТУРА ШКОЛЬНЫХ ПРОГРАММ И УЧЕБНИКОВ
  2. Интуиционистская математика
  3. 2. Надежность интуиционистского обоснования
  4. Интуиционистская логика (высказываний
  5. Интуиционистская критика закона исключенного третьего
  6. Программа дополнительного образования для детей 3-7 лет «Чаша жизни» Автор проекта: В.Б. РЕМИЗОВ, научный руководитель эксперимента «Школа Л.Н. Толстого» Автор программы: Л.В. КОРОТКОВА
  7. Оценка программы интуиционизма и конструктивизма
  8. Глава I (О том, что) и ангелам говорится: «Что ты имеешь, чего бы не получил?», и что от Бога нет ничего, что не было бы благом и бытием; и (что) всякое благо есть сущность, v‘b а всякая сущность — благо
  9. 16.3. Программа воспитания
  10. Программа партии
  11. 2.4. Демонстрация программы
  12. Занятие 4. Анализ школьных программ
  13. Универсальные программы
  14. Программа исследования