2. Лаплас. Ньютон и всеведущий разум

В конце XVIII века великий французский математик и астроном Лаплас высказал положение, которое, вероятно, может рассматриваться как самая четкая формулировка того, что считалось «законом причинности», используемым в науке. Лаплас писал во введении к своей книге «Опыт философии теории вероятностей»:

«Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел вселенной наравне с движениями мельчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверным, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором» 36.

Легко видеть, каким образом Лаплас представлял себе действия этого разума. Он продолжал:

«Ум человеческий в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нам представление о слабом наброске того разума... Все усилия духа в поисках истины постоянно стремятся приблизить его к разуму, о котором мы только что упоминали, но от которого он останется всегда бесконечно далеким»37.

Исходя из астрономии того времени, как она была представлена в «Системе мира» Лапласа, мы можем легко описать структуру формулы мира, созданной верховным разумом, к которому взывал Лаплас. Он представлял себе работу этого разума похожей на работу астронома, наблюдающего положение небесных тел в данный момент и вычисляющего из этих данных их положения в любое время t. Верховный разум делает больше, чем астроном, допуская произвольное число тел, произвольные начальные условия и силы, действующие между телами, которые могут не подчиняться ньютоновскому закону тяготения. Однако Лаплас допустил одно ограничение этих сил, которое со времени заката аристотелевской и подъема ньютоновской механики принималось почти как само собой разумеющееся. Он сказал: «Орбита, по которой движется отдельная молекула воздуха или пара, определяется абсолютно с той же достоверностью, что и орбиты планет. Различия между ними должны быть отнесены только к нашему незнанию».

Теперь мы опишем способ, с помощью которого астроном вычисляет будущие положения небесных тел, исходя из знания их положений и скоростей на данный момент. Мы будем называть причинным всякий закон, который позволит нам из информации об одной области пространства и времени вывести информацию о другой области пространства и времени. Ньютоновская механика, посредством которой вычисляются будущие положения небесных тел, безусловно, содержит причинные законы. «Принцип причинности», однако, определенно претендует на применимость в той области, в которой причинные законы действуют или могут действовать для предсказания будущего.

Возьмем N материальных точек с массами mi, ГП2, тп. Пусть декартовы координаты материальной точки mh суть xk, yky zk. Сила, действующая на материальную точку с массой тк% может иметь компоненты Xkt Ykf Zhi которые являются заданными функциями координат xv yv zv.. -, xN, yN1 zN. Тогда уравнения движения имеют вид:

d*xk __ х d?yk __ у k~dW— k> k df-—

где хл, Zk — известные функции Хр yv zv ..., xN, yN> zN. Если мы введем компоненты скорости

йхь

то сможем записать уравнения движения в таком виде, что их можно принять в качестве причинных законов. Мы должны помнить, что в каждый данный момент времени каждая частица имеет положение и скорость, заданные величинами xvyvzv..tyxN,yN>zN> ul9 wif ... aN> vNi wN. Если эти величины заданы в определенный момент времени, то законы движения позволяют нам вычислить значения этих величин в любой прошедший или будущий момент времени t. Это ясно из того факта, что действие законов движения в действительности состоит в следующем: изменения величин xv yv Zv Ур, ZN> uv vv Wv ...

... ^задаются функциями самих этих величин:

mk = Xk (xi -«• WN) Уь(хі • • • ®лг)

dxk „ „ ^Уб __ dzk _

Чтобы проще записать систему этих уравнений движения, мы можем ввести новые обозначения для компонент координат всех частиц во всех направлениях х\, Х2, ... хп (п = 3N) и соответствующих компонент скорости и,\, и г, ... ип. Тогда уравнения движения примут следующий вид:

= ...и.). = 1. 2,... ЗЛО.

Это специальный случай более общего типа системы. Если мы назовем хх, х2, xz, ... хп, щ, и2, tiz, ... ия динамическими переменными, описывающими состояние нашей механической системы, и обозначим их все одним и тем же символом с соответствующими индексами: ?2, — ?злг, то уравнения движения будут

иметь вид = . 2, 3 N. Это

значит, что если «состояние системы» описывается с помощью 3N = п динамических переменных, то ско-

рости изменения этих переменных задаются

функциями Fk значений в данный момент времени (начальных значений).

Математическая теория дифференциальных уравнений дает методы «интегрирования» системы вида:

= $2> ...), (k — 1, 2, ... я). Это значит, что

если даны значения динамических переменных для одного момента времени (например, для f = 0), то можно найти значения ^ ..., в любое время t, если, конечно, известны сами дифференциальные уравнения (другими словами, функции Fk). Дифференциальные уравнения являются инструментом, который позволяет вычислять значения динамических переменных для любых моментов времени t, если даны их значения для одного момента t = 0. Мы можем назвать это предсказанием, потому что в этом случае вычисляются значения величин для будущих моментов времени, исходя из их значений в настоящий момент. Но необходимо помнить, что с таким же успехом мы можем вычислить значение динамических переменных для t < 0, то есть для прошедшего времени.