А.С.Карпенко НЕКОТОРЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ИДЕИ В.А.СМИРНОВА

Совершенно не вдаваясь в логическую технику, я постараюсь передать атмосферу некоторых идей В.А.Смирнова и, в первую очередь, то место, которое эти идеи заняли и занимают в современном логическом мире.

В центре своего исследования я положу только три работы В.А.Смирнова: (I)

. Логические взгляды Н.А.Васильева // Очерки по истории логики в России. М., 1962. С. 242-257. (II)

. Формальный вывод и логические исследования. М., 1972. (III)

. Логические методы анализа научного знания. М., 1987.

Основные идеи этих трех работ, расходясь концентрическими кругами и накладываясь друг на друга, должны ввести нас в логический универсум В.А.Смирнова, но именно в тот, который оказал и оказывает влияние, а во многом и предугадал некоторые тенденции развтия современной логики.

» » »

I. 0

русском логике Н.А.Васильеве (1880 — 1940) писали и ранее211, но этой работе В.А.Смирнова и вообще чуть ли не из всех его работ повезло больше всего по той простой причине, что на нее появилась обстоятельная рецензия на английском языке, и не где-нибудь, а в главном международном журнале по логике212.

Идеи о возможности конструирования неаристотелевских логик появились в начале нашего века в работе Л.Брауэра213 о недостоверности закона исключенного третьего и одновременно в 1910 г. в работах Я.Лукасеви- ча214 и Н.А.Васильева215, которые независимо друг от друга пришли к выводу, что пересмотр основных законов аристотелевской логики (и в особенности таких, как закон непротиворечия: одно и то же суждение не может быть и истинным и ложным, и закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений либо первое, либо второе должно быть истинным) приводит к построению неаристотелевской логики, при этом оба ссылались на пример построения неэвклидовой геометрии. Но идеи

Н.А.Васильева216 были богаче и гораздо шире, и именно на их глубину обратил внимание в своей статье В.А.Смирнов.

На рецензию указанной статьи В.А.Смирнова сразу обратили внимание, и, с одной стороны, уже в монографии Н.Решера217 по многозначной логике Н.А.Васильев становится одним из предшественников многозначных логик, а с другой стороны, становится одним из предшественников паранепротиворечивой логики218 (в таких логиках закон непротиворечия не всегда имеет место). На следующем Международном Конгрессе приглашенным докладчиком о Н.А.Васильеве был уже В.А.Смирнов219. Наконец, в 1989 г. В.А.Смирнов подготавливает и издает не раз упоминаемые нами избранные труды Н.А.Васильева с обширным приложением, где также публикуется его статья о Н.А.Васильеве220.

Логические взгляды Н.А.Васильева оказали большое влияние на самого В.А.Смирнова, и до конца своих дней он разрабатывал их в различных направлениях. Так возникла идея комбинированных логик, где вводятся операции над событиями, и они играют роль внутренних логических языков, в то время как обычные логические знаки играют роль внешних логических знаков, и эта часть логики является абстрактной Логикой. С точки зрения В.А.Смирнова, возможен двоякий подход к неклассическим логикам. Либо абстрактная часть логики (логика истинности) не варьиру- ется, а внутренняя, онтологическая часть, может быть отлична от классической (например, за счет изменения онтологических предпосылок), либо онтологическая часть остается прежней, а меняется абстрактная часть (пересматриваются гносеологические предпосылки). Возможна комбинация этих двух подходов, когда неклассичность появляется за счет пересмотра как онтологических, так и гносеологических предпосылок221. Вообще, стоит заметить, что идея разделения в одной и той же системе логических операций на внутренние (язык-объект) и внешние (метаязык) является весьма плодотворной и возникала независимым образом у разных логиков. Особенно здесь стоит выделить работу Д.А.Боч- вара222, где строится первая трехзначная логика бессмысленности для разрешения некоторых теоретико-множественных парадоксов. В свою очередь, идеи Д.А.Бочвара были развиты В.К.Финном и его учениками, что привело к оригинальным и эффективным методам аксиоматизации различных классов конечнозначных предикатных логик223. Однако подход В.А.Смирнова отличался все-таки необычайной широтой.

Другая идея В.А.Смирнова, а именно идея многомерных логик, восходит к предложенному Н.А.Васильевым подразделению логических законов на два уровня: внешний и внутренний, абстрактный и эмпирический. Первый уровень зависит от наших гносеологических установок, он не варьируется — это логика лжи и истины. На этом уровне верен закон непротиворечия и закон исключенного третьего. Второй уровень зависит от онтологических допущений о познаваемом мире, при этом в «одномерном» мире опыт дает только позитивные атомарные утверждения, а отрицательные утверждения не атомарны, они являются результатом вывода. Двумерный случай В.А.Смирнов рассматривает на примере дважды алгебр Брауэра224. Первоначально В.А.Смирнов предложил аксиоматику N-мерных логик в форме силлогистики225. Позднее им было предложено построение логики N-измерений в виде алгебры классов226, предполагая в дальнейшем сравнить ее с N-мерными логиками в форме силлогистики.

Основная идея многомерных логик состоит в том, что опыт дает нам атомарные утверждения «многих типов», а отсюда мы приходим к идее «многомерных» миров. В этих мирах имеет место своя логика. Можно предположить, что В.А.Смирнов подошел к идее обобщения логической семантики так называемых «возможных миров», или «точек соотнесения». Частные интересные случаи стали уже появляться в современной литературе. Например, у А.Н.Прайора227 в каждом возможном мире имеет место трехзначная логика Лукасевича, и этим определяется семантика для «логики случайного бытия». Р.Раут- ли228 предложил семантику для релевантных и паранепро- тиворечивых логик, где в каждом возможном мире действует не алгебра Буля, а алгебра де Моргана; а В.Л.Ва- сюков229 вводит тернарное отношение на мирах, которые структурализованы специального вида MV-алгебрами Чэна, и таким образом строится точная модель для дискретной бесконечнозначной логики Лукасевича, и т.д.

К сожалению, В.А.Смирнов не успел осуществить свои разнообразные идеи относительно многомерных логик.

II

Книга В.А.Смирнова «Формальный вывод и логические исчисления», по которой он защитил докторскую диссертацию, исключительно богата совершенно новыми идеями и определенно является его наивысшим интеллектуальным взлетом. Идеи, высказанные и разработанные в этой книге, во многом опередили свое время и, что важно, интенсивно развиваются сейчас в мировой логической литературе. Я отмечу только две темы, заслуживающие особого внимания в связи с современным развитием логики. Сразу хочу подчеркнуть, что эта книга не только не была переведена на английский язык, но на нее не была сделана даже рецензия в каком-либо международном журнале, и поэтому эта блестящая работа В.А.Смирнова осталась неизвестной для зарубежного читателя.

В этой книге впервые в мировой литературе было положено начало исследованиям логических систем без сокращений (гл. 5). Правило сокращения позволяет освобождаться от повторений одной и той же формулы, и это свойство логической системы оказывается связанным с проблемой разрешения самого исчисления, т.е. логики естественно заинтересованы в том, чтобы для каждой правильно-построенной формулы данного исчисления можно было решить вопрос, является ли эта формула теоремой или нет.

В.А.Смирнов строит такое секвенциальное исчисление, результат расширения которого за счет добавления двух структурных правил сокращения (слева и справа) является секвенциальным вариантом классической логики предикатов. Доказано, что пропозициональная часть этого исчисления совпадает с пропозициональной частью классической логики и что проблема разрешения для нее разрешима. Также получены другие результаты относительно данного исчисления.

Ради справедливости стоит сказать, что одновременно и независимо от В.А.Смирнова появляются краткие тезисы В.Н.Гришина230, внимание которого привлекли работы о применении многозначных логик Лукасевича (а заме- тим, что трехзначная логика Лукасевича является исторически первой логикой, в которой закон сокращения не имеет места) к теории множеств. Как раз работы В.Н.Гришина231 стали доступными для зарубежных специалистов и привлекли к себе внимание.

В 1985 г. выходит обстоятельная работа японских ученых232 о логиках без сокращений, после чего появился уже целый ряд чисто логических работ в этой области, а затем появляется знаменитая работа Дж.Жирара233, которая обозначила целое направление в примененении логик без сокращений в компьютерных науках. Однако нигде в зарубежных работах ссылок на исходные идеи В.А.Смирнова нет.

Другая идея В.А.Смирнова, высказанная и получившая развитие в этой книге, является, по моему мнению, его главным творческим достижением. Начнем с того, что В.А.Смирновым построена предикатная логическая система, названная им абсолютной и которая лежит в основе целой иерархии логических систем. Абсолютная система является системой релевантной логики234, а ее импликативный фрагмент совпадает со «слабой позитивной импликацией» Черча235. Таким образом, независимо от А.Черча был открыт импликативный фрагмент релевантной логики R. (В свое время В.А.Смирнов рассказывал автору этих строк, что, когда он был в аспирантуре, для того чтобы получить в читальном зале иностранную литературу, нужно было иметь специальное разрешение на это. Неудивительно, что большинство западных научных работ было вне досягаемости.)

Начиная с конца 80-х годов появляется целый ряд работ, где строятся различные иерархии логических систем236. Здесь в качестве исходной логической системы берется полное (full) исчисление синтаксических категорий Ламбека237.

так как формальные выводы различаются по своей структуре, то соответственно этому теорема дедукции принимает различный вид. Последнее позволяет классифицировать импликативные логики в зависимости от того, какая формулировка теоремы дедукции имеет место; 2)

в основу классификации можно положить структурные правила в зависимости от соответствия между этими правилами и импликативными формулами.

Тема классификации импликативных логик была развита В.А.Смирновым в еще одной работе238, где обращено внимание на ту серьезную проблему, что оба способа классификации не охватывают классической логики. В первом случае теорема дедукции, которая имеет место для интуиционистской логики, имеет место также и для классической и в таком случае не различает первую от второй. Во втором случае — нет такого структурного правила, которое отвечало бы за переход от интуиционистской импликации к классической. В гильбертовских исчислениях переход от интуиционистской импликации к классической обычно осуществляется за счет добавления закона Пирса, но структурного правила, соответствующего этому закону, не существует.

К классификации импликативных логик можно подойти с совершенно иной стороны, используя свойства базисных (исходных) комбинаторов I, В, С, W, К и S, впервые введенных М.Шейнфинкелем239, а затем Х.Кар- ри240. Оказалось, что между комбинаторами и имплика- тивными формулами существует однозначное соответствие. В силу указанного соответствия (оно еще называется изоморфизмом Карри-Ховарда) можно классифицировать импликативные логики посредством комбинаторов, и наоборот241.

Однако .эта классификация, как и классификация В.А.Смирнова, не охватывает классической импликатив- ной логики, поскольку нет такого комбинатора, который соответствовал бы закону Пирса и вообще любой неинтуиционистской импликативной формуле. Поэтому в указанной работе конструируется весьма сложным образом такой «комбинатор» Р, который соответствовал бы закону Пирса.

Итак, перед нами стоит следующая исходная проблема (назовем ее проблемой В.А.Смирнова): найти единое основание для классификации импликативных логик, которая включала бы и классическую импликацию.

Решение данной проблемы предложено автором данной статьи242 и основано на классификации независимых аксиоматик импликативных логик посредством конечных решеток. В результате получаем картину взаимоотношений между различными неклассическими логиками, обнаруживаются естественные пути расширений исчислений до самой классической логики, и ставятся и решаются многие другие вопросы.

Конечно, в каком-то всеобъемлющем виде классифицировать логики невозможно, уж слишком разнообразен мир логики и, по своей сути, даже континуален. Но построение различных иерархий родственных логических систем и классификация определенных классов исчислений привлекает и будет привлекать все большее внимание специалистов.

III.

Следующая книга В.А.Смирнова «Логические методы анализа научного знания» оказалась многострадальнрй. Вышла она с большим опозданием, и предшествовала этому тяжелая борьба (конец 70-х — первая половина 80-х гг.), которая шла в секторе логики Института философии РАН. И хотя лидерство В.А.Смирнова как логика было бесспорным, тогдашняя дирекция Института поддержала противоборствующую сторону.

Из этой книги я выделю опять же только две темы, а именно результаты в области модально-временных логик и тему сравнения теорий. В книге (гл. 5, § 2) подводится как бы итог работы по модально-временным логикам. Первая статья была опубликована в 1978243, и одновременно и независимо (как это часто бывает в истории науки) начинает появляться целый ряд работ по этой же теме Дж.Борджеса244. Исходные идеи о логиках с модально- временными операторами как единых логических операциях (типа «возможно будет, что...») впервые были высказаны А.Н.Прайором245. Им же в связи с этим были введены временные структуры с линейным временем в прошлое и ветвящимся в будущее.

А.Н.Прайор исходил из чисто философской проблематики, и именно уже в указанной работе В.А.Смирнова было предложено весьма оригинальное решение знаменитой аристотелевской проблемы о морском сражении246 посредством введения метрических модально-временных операторов247. При таком подходе введение промежуточного истинностного значения, как это было сделано Я.Лу- касевичем, не требуется.

Еще одна важная идея, высказанная здесь В.А.Смирновым, состоит в новом понимании сопряженности между прошлым и будущим. В обычных временных логиках между прошлым и будущим существует зеркальная симметрия, или, как предложил А.Н.Прайор248, операторы будущего времени могут быть трехзначными, и на этом пути опровергаются некоторые фаталистические утверждения. В.А.Смирнов249 предлагает принять принцип, согласно которому то, что реализовалось, было возможным в прошлом, но не обязательно в сколь угодно далеком прошлом. Естественно, сразу же возникают вопросы о погружении известных модальных логик в новые временные системы, на решение которых всегда обращал внимание В.А.Смирнов.

Исследования по модально-временным логикам в дальнейшем стали приобретать все более технический ха- рактер, поскольку требовалось решать проблемы о полноте и разрешимости логических систем, моделями которых являются древовидные структуры250. Однако вклад В.А.Смирнова в философскую логику несомненен.

Значительное место в данной книге занимает тема сравнения различных теорий, и в первую очередь аксиоматических теорий. По существу, этой проблематикой В.А.Смирнов интересовался весь свой зрелый период научной деятельности. На самом деле эта тема является продолжением исследований по определимости, в частности определимости дескриптивных терминов. Результаты, полученные здесь, были доложены им (совместно с В.Н.Садовским) на V Международном Конгрессе по логике, методологии и философии науки в 1975 г.251.

Логическим отношениям между теориями посвящено несколько работ252, и, чтобы показать ту красоту результатов, которые могут быть здесь получены, я приведу весьма впечатляющий пример из области сравнения алгебраических теорий.

Известно, что теория групп первоначально возникла как теория конечных групп подстановок (C.Jordan, 1970). Однако очень скоро было осознано, что подстановки здесь ни при чем, а главное — изучение свойств бинарной операции без предположения конечности множества элементов и без каких-либо предположений о природе элементов группы. Такой подход впервые оформился в самостоятельную область математики в 1916 г. с выходом книги О.Ю.Шмидта «Абстрактная теория групп». В это же время начинает оформляться трехзначная логика Лукасевича как результат «борьбы за освобождение человеческого духа»253. В 1929 г. эта логика обобща- ется на бесконечнозначный случай254, а в середине века происходит алгебраизация бесконечнозначной логики Лукасевича в виде MV-алгебр Чэна255, т.е., как и в случае с теорией групп, происходит полное абстрагирование от природы элементов. В это же время сама теория групп обогащается решеточным порядком и начинает бурно развиваться как самостоятельный раздел математики в виде теории решеточно-упорядоченных групп256.

Наконец, в 1986 г. выходит фундаментальная работа М.Мундичи257, где доказывается эквивалентность целого ряда алгебраических теорий, возникших на совершенно различных основаниях и в разное время, с MV-алгебра- ми Чэна; в том числе доказывается эквивалентность решеточно-упорядоченных групп (с некоторым ограничением) с МУ-алгебрами258.

Имеются и другие интересные примеры эквивалентности различных и весьма несхожих теорий, но все эти примеры носят частный характер, а В.А.Смирнов подходит к проблеме сравнения теорий гораздо шире, а именно разрабатывает саму теорию сравнения теорий. Он формулирует понятия несущественного расширения теории, переводимого расширения и анализирует с их помощью логические отношения между теориями, сформулированными в разных языках и на базе различных логик. Он рассматривает целый спектр различных типов отношений между теориями — погружающие операции, вло- жимость одной теории в другую, рекурсивную эквивалентность, относительную эквивалентность — и доказывает ряд теорем, описывающих их свойства. В дальней- шем В.А.Смирнов неоднократно использовал разработанные им методы в своих исследованиях взаимоотношения различных теорий. Одним из последних его результатов является доказательство эквивалентности онтологии Лес- невского и оккамовской силлогистики259.

Конечно, не все логические идеи В.А.Смирнова здесь рассмотрены260, а только те, как говорилось вначале, которые представляют особый интерес в современном мире логики. Что-то, может быть, было и пропущено, но возьму на себя смелость сказать, проработав с В.А.Смирновым без малого четверть века (вначале в качестве его студента, затем аспиранта и все остальное время в одном секторе коллегой), что основная заслуга моего Учителя в логике не в его результатах, а в том, что им была создана удивительная атмосфера содружества логиков, не только в нашей стране, но и с логиками других стран. В этой атмосфере можно было работать, обмениваться идеями на многочисленных конференциях и получать новые результаты.

Многочисленные его ученики рассеялись по белу свету и с благодарностью вспоминают и рассказывают о Владимире Александровиче Смирнове. А придет еще время личных воспоминаний его учеников, и тогда откроются совсем поразительные черты его характера не только как логика, а как личности.