2. Неизбежность стабилизации

Первая особенность математической теории, отличающая ее от теории эмпирической, состоит в абсолютном характере ее фактологической основы. Противоречие между принципами и фактами в эмпирической теории разрешается не обязательно в пользу фактов: здесь могут быть пересмотрены, уточнены, переинтерпретированы и даже устранены (признаны несуществующими) сами факты. Диалектика теории и фактов в эмпирических теориях неизбежно ведет к постепенному сдвигу обоих полюсов. Попперовская концепция относительности базовых утверждений научной теории в своей основе является, конечно, верной. Но эта концепция не может быть перенесена на математику. В отличие от фактов опыта математические факты, поскольку они значимы в сфере аподиктически очевидного и полностью определены в ней, обладают абсолютной значимостью и не могут быть скорректированы на основе каких-либо теоретических соображений. Сфера математических фактов в этом отношении является абсолютной и, как следствие, внутренняя диалектика математической теории реализуется исключительно за счет перестройки системы теоретических допущений.

Другая особенность математической теории заключается в том, что ее исходные принципы (аксиомы) не только однозначно определяют состав возможных теорем, но и сами однозначно определяются системой признанных теорем. Из принципов физической теории мы выводим определенное множество заключений о фактах — внутренних связях теории, имеющих непосредственную эмпирическую интерпретацию, но сами эти факты никогда не рассматриваются здесь как определяющие множество принципов. В методологии физики мы говорим о том, что одна и та же система фактов в принципе может быть объяснена на основе самых различных теоретических гипотез. Система эмпирических фактов никогда не является достаточной для утверждения некоторых принципов как единственно возможных. В математической теории между теоремами и аксиомами существует одинаково жесткая зависимость в обе стороны: из аксиоматики следует определенное множество теорем и, напротив, принятие в качестве истинных определенного числа теорем требует однозначного признания определенной аксиоматики. Если теорема Пифагора признана, то и аксиома параллельности Евклида признана и т.д. То есть в математической теории мы можем говорить как о строгом выводе теорем на основе аксиом, так и о строгом выводе аксиом на базе принятых теорем. Если modus ponens позволяет нам переходить от аксиом к теоремам, то modus tollens служит основой выявления аксиом, достаточных для доказательства признанного множества теорем. Это важная особенность логического строения математической теории, позволяющая говорить о ретротрансляции истинности от фактов к принципам в математической теории, которая очевидно не имеет места в теории эмпирической. Истина вводится в фактуальное основание и течет к принципам, которые получают здесь строгую определенность и однозначное обоснование на основе фактов.

Наиболее важная особенность математической теории состоит в том, что становление аксиоматики достигает здесь предельного состояния, закрывающего возможность дальнейших ее изменений в смысле заключенного в ней содержания. В отличие от эмпирической теории для математической теории является осмысленным понятие абсолютно завершенной системы принципов.

Математическая теория, как и теория эмпирическая, появляется первоначально как некоторая система интуитивно ясных утверждений и бесспорных логических связей, относящихся к определенной системе фактов. На этой начальной стадии мы, очевидно, не имеем еще ни полной системы принципов, необходимых для описания исходных объектов, ни целостности самой системы объектов, ни гарантии логической совместности утверждений, принятых в теории. Появление первой несовершенной аксиоматики устанавливает относительное единство утверждений, выявляет логическую последовательность их развертывания и позволяет сделать всю систему теорем более целостной и законченной. Анализ этой системы приводит, в конечном итоге, к формулировке более полной и систематичной аксиоматики и т.д. Мы имеем основание утверждать, что в математической теории, в отличие от физической, эта диалектика конечна, что она завершается в конечное время полной стабилизацией аксиоматики, формулировкой ее в такой форме, которая исключает дальнейшее ее совершенствование в плане заключенного в ней содержания. Диалектика фактов и принципов в математической теории неизбежно завершается достижением предела, выявлением системы аксиом, идеально соответствующей содержанию теории.

Эмпирические теории в этом отношении существенно отличаются от теорий математических. Разумеется, стремление к полноте и законченности принципов имеется и здесь и в определенном смысле оно достигается. Принципы механики, сформулированные Ньютоном, представляют собой пример такого рода завершенной теоретической системы. Однако физическая теория, будучи нацелена на определенный внешний предмет, всегда остается открытой для логических контрпримеров и для соответствующей перестройки принципов. Стабилизация физической теории — это стабилизация по отношению к фрагменту опыта, т. е. к некоторой внетеоретической реальности, и может быть реализована всегда лишь с некоторым приближением, за счет частных гипотез и в пределах корректности фактов, которая не имеет здесь абсолютного значения. Идеальное единство фактов и принципов достигается лишь в математической теории, вследствие безусловной однозначности сферы фактов и конечности процесса абсолютного оправдания принципов.

Завершенность аксиоматики и завершенность доказательства тождественны в том смысле, что оба этих яёления проистекают из принципиальной конечности математического мышления. Доказательство достигает полной стабилизации, общезначимости и абсолютной надежности вследствие того, что оно состоит из конечного числа переходов, приемлемость каждого из которых устанавливается в конечное время с абсолютной однозначностью. Выбор эффективного пути во множестве аподиктически определенных возможностей всегда разрешается научным сообществом с полной однозначностью. Процесс поиска системы аксиом для сформировавшейся системы доказательств также является проверкой конечного числа вариантов и с необходимостью завершается в конечное историческое время.

Логика становления математической теории обусловлена конечной определимостью математических понятий, которая проистекает в свою очередь из их включенности в формальную систему. Конечная определимость математических понятий делает неизбежным для любой математической теории достижение ею неколебимого (абсолютного) основания, которое в принципе недостижимо для теорий, имеющих дело с фактами опыта.