<<
>>

3. Свойства завершенной аксиоматики

Приближаясь к стадии завершенности, система аксиом приобретает ряд свойств, которые могут служить признаками этой стадии и ее более детальным определением. Среди этих свойств наиболее важными являются: полнота, минимальность, конечность, элементарность и однозначность.

Под полнотой аксиоматики мы будем понимать здесь достаточность ее для логического представления признанного содержания теории.

Такое понимание полноты, конечно, не тождественно логическому или метатеоретическому определению этого понятия. В логическом определении полнота аксиоматики в большинстве случаев принципиально недостижима и мы можем говорить о полноте в этом смысле только относительно самых элементарных теорий типа исчисления высказываний или исчисления предикатов первого порядка. В методологическом смысле, напротив, полнота всегда достижима, ибо каждая математическая теория в процессе своего вызревания достигает такого состояния, когда аксиоматика признается достаточной для воспроизведения всего значимого содержания теории и адекватной ей в том смысле, что само это содержание мы начинаем определять через указание на аксиоматику. Полнота в этом смысле не имеет точного логического определения, но тем не менее она совершенно однозначно фиксируется математическим сообществом и является важнейшим признаком завершенной аксиоматики.

Важно понять, однако, что методологическая полнота — не продукт произвольного установления. Хотя аксиоматика арифметики логически неполна и допускает в принципе неограниченное пополнение, никто из математиков не стремится дополнить ее какими-либо новыми аксиомами или группами аксиом. Причина этого факта заключается в требованиях внутренней детерминации математических объектов, которая имеет объективный характер. Если мы вводим понятие угла и способы определения его величины, то естественно возникает вопрос о сумме углов треугольника, и мы нуждаемся во введении определенных аксиом, достаточных для определенного ответа на этот вопрос.

Мы продолжаем вводить новые аксиомы до тех пор, пока очевидные свойства и связи объектов, данные с аподиктической очевидностью, не получат полного объяснения. Из конечности значимых свойств первичных объектов проистекает конечность содержания аксиом, которую мы воспроизводим во всех аксиоматиках теории.

Достижимость полной аксиоматики не может быть поставлена под сомнение некоторыми колебаниями относительно состава аксиом, которые иногда возникают на практике. Те математики, которые желают сделать ряд ординалов жестко определенным подобно натуральному ряду чисел, будут склонны к принятию аксиомы детерминированности как элемента системы аксиом теории множеств, поскольку эта аксиома снимает ряд таких неопределенностей, делая, в частности, доказуемой континуум-гипотезу. Другие математики будут настаивать на специфичности ряда ординалов и на принципиальной неопределенности некоторых его свойств, навеянных арифметическими аналогиями. Идея методологической полноты состоит, однако, не в том, что аксиоматика всегда устанавливается с полной однозначностью, а в том, ч^о в математической теории, на определенной стадии ее развития, не остается содержания, не сведенного к некоторым явно выраженным принципам.

Система аксиом в своем развитии приобретает также и другое важное качество, а именно, логическую необходимость или минимальность. Приобретая полноту, аксиоматика вместе с тем приобретает и свойство минимальности или необходимости. Обе эти тенденции связаны в том плане, что они обусловлены одними и теми же факторами совершенствования структуры математической теории: практическое использование аксиом в одинаковой степени стимулирует как раскрытие еще недостающих, так и устранение избыточных допущений, которые до определенного времени могут присутствовать в аксиоматике. Обе эти тенденции родственны и в том смысле, что они в конечном итоге достигают своей полной фактической реализации. Мы имеем основания думать, что аксиоматика, принятая научным сообществом как достаточная, является вместе с тем и свободной от внутренних излишеств, т.

е. абсолютно необходимой или минимальной. Процесс минимизации аксиоматики также конечен и на определенном этапе развития теории мы строго доказываем необходимость каждой из аксиом для вывода теорем, составляющих признанное ядро теории. Система аксиом геометрии, первоначально предложенная Гильбертом, как известно, страдала рядом недостатков: она содержала лишнюю аксиому инцидентности, избыточные допущения относительно конгру- ентности и имела явно недостаточное определение непрерывности2. В настоящее время обнаружение такого рода дефектов в аксиоматике геометрии, конечно, исключено.

Свойство минимальности завершенной аксиоматики, конечно, также является эпистемологическим, ибо у нас в общем случае нет средств чисто логического обоснования того факта, что все аксиомы независимы и что ни одна из них не содержит аспекта, который можно было бы из нее исключить при более аккуратной формулировке всей системы. На практике, однако, минимальность признанных аксиоматик ни у кого не вызывает сомнений, ибо любой математик знает, что такого рода излишества в системе аксиом, если бы они действительно имели место, не могли бы не обнаружить себя в процессе простых доказательств.

Завершенная аксиоматика обладает некоторым свойством, которое можно назвать структурной конечностью. С логической точки зрении* подавляющее число аксиоматик при точном понимании аксиомы \л при разделении аксиом и схем аксиом являются бесконечными, ибо наряду с аксиомами они содержат в себе также и схемы аксиом. При содержательном понимании аксиоматики различение между аксиомой и схемой аксиом, однако, не является сколько-нибудь существенны-м, ибо под аксиоматикой мы понимаем здесь не систему формул в определенном логическом языке, а систему содержательных утверждений об элементарных объектах теории. Аксиома индукции с этой точки зрения является элементарным утверждением о некотором достаточно очевидном свойстве натурального ряда, которое имеет тот же статус, что и остальные его свойства. При содержательном понимании аксиом как осмысленных высказываний об элементарных объектах, определяющих их простые свойства и отношения, все системы аксиом безусловно конечны и в принципе не могут быть другими.

Завершенная система аксиом обладает также качеством, которое можно назвать элементарностью. Аксиома является элементарной, когда она формулируется исключительно в первичных понятиях и не требует для своей формулировки никаких производных определений. Аксиоматика арифметики является элементарной в этом смысле. При формулировке геометрических аксиом нам приходится прибегать к понятиям треугольника и прямого угла, которые не относятся к первичным понятиям аксиоматики. Общая логика построения математической теории требует сведения системы аксиом к максимальной элементарности, к максимальному исключению из системы утверждений (аксиом), сформулированных через производные понятия. Самоочевидность и элементарность это те фундаментальные характеристики аксиом, за которые математики не выходят, если они не побуждаются к этому существенной неполнотой теории. Можно выразить это так, что систему аксиом следует считать завершенной, если выявлены все независимые элементарные аксиомы и если она выходит за эти границы лишь в пределах того минимума, который необходим для достижения ее практической полноты в отношении содержания теории.

Мы будем называть аксиоматику завершенной, если она обладает свойствами практической полноты, минимальности и однозначности в разъясненном выше смысле этих эпистемологических характеристик. Теорию, достигшую уровня завершенной аксиоматики, будем называть хорошо аксиоматизированной теорией или зрелой теорией. Общезначимым критерием завершенности системы аксиом, как это уже очевидно из сказанного выше, является ее историческая стабильность, выражающаяся в фактическом прекращении процесса изменений в ее составе, влияющих на ее дедуктивную силу, и в принятии ее математическим сообществом как адекватной содержанию теории. Аксиоматика арифметики, евклидовой геометрии, теории множеств, теории вероятностей является в соответствии с указанным критерием полностью завершенной, а сами эти теории являются несомненно зрелыми или хорошо аксиоматизированными теориями. Общие соображения о логике развития математической теории и история математики позволяют утверждать, что всякая система аксиом достигает в конечном итоге стадии абсолютной завершенности, т. е. полной определенности в составе своих требований к исходным объектам и к процедуре введения производных объектов. В завершенной аксиоматике математическая теория впервые достигает точного определения своего содержания, ибо под теорией в этом случае мы начинаем понимать именно то содержание, ту совокупность утверждений, которая достижима в рамках принятой аксиоматики.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 3. Свойства завершенной аксиоматики:

  1. Непротиворечивость завершенной аксиоматики
  2. Понятие завершенной аксиоматики
  3. Примеры аксиоматики и ее преимущества
  4. 3. Специалист по аксиоматике и философ
  5. 6. Преимущества аксиоматик
  6. 7. Стандартные возражения против аксиоматики
  7. 8. Место аксиоматики в процессе преподавания
  8. 4. Общая характеристика аксиоматики
  9. Гл ава 7 Характер аксиоматики
  10. 4. Описательные модели: аксиоматика и интуиция
  11. 3.5. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ И ЛИЧНОСТНЫЕ ОСОБЕННОСТИ 3.5.1. Свойства нервной системы ОПРОСНИК ЖИЗНЕННЫХ ПРОЯВЛЕНИЙ ТИПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕРВНОЙ СИСТЕМЫ (СНС)
  12. 1. Завершенность математических понятий
  13. РАЗМЫШЛЕНИЯ ПО ЗАВЕРШЕНИИ ИССЛЕДОВАНИЯ
  14. Этап завершения
  15. Завершение войны
  16. Завершение культурной революции
  17. ЗАВЕРШЕНИЕ ЛИВОНСКОЙ ВОЙНЫ
  18. Статья 16. Завершение государственной регистрации юридического лица, создаваемого путем реорганизации