1. Мотивация и история вопроса

Рассмотрение аксиом теории множеств в данной книге имеет лишь одну цель — показать значимость эпистемологических рассмотрений в современной философии математики. Поскольку аксиоматический метод в современной математике имеет широчайшее хождение, вопрос об обосновании аксиом не представляется интересным, и введение новых аксиом делается из соображений математической практики.

Реализм в философии математики, в самой простой формулировке, утверждает, что математика описывает математическую реальность, существующую вне и независимо от человеческого разума. Правильно описывающие эту реальность утверждения являются математическими истинами, которые доказуемы, исходя из аксиом. Если предположить, что вся математика в весьма определенном смысле сводима к теории множеств, тогда аксиомы этой теории должны иметь статус выделенных утверждений, обоснование истинности которых должно представлять собой специальную задачу.

Аксиоматизация как научный метод (если «дедуктивные науки» считать наукой) предполагает, прежде всего, содержательно сформулированные положения, полученные либо интуитивным образом, или же сложным процессом вывода из данных. В любом случае, имеется совокупность утверждений, которая выступает в качестве теории, описывающей некоторый фрагмент реальности. Взаимоотношения утверждений внутри теории обычно в высшей степени запутаны и сложны. Задача аксиоматизации (точнее, одна из задач) состоит в систематизации этих взаимоотношений, т.е. в установлении некоторого порядка среди них, некоторой иерархии утверждений (одни являются более фундаментальными, другие — производными и т.д.). Естественно, что при этом к аксиомам — наиболее фундаментальным предположениям — предъявляются особые требования с точки зрения их ясности, базисного характера, истинности.

Разговор о самоочевидности аксиом в случае теории множеств теряет смысл почти на самых ранних этапах развития этой теории. Так, наиболее очевидное положение о том, что каждое свойство определяет множество, приводит к парадоксам. Больше того, практически все аксиомы не представляют собой ясных положений, и для каждой требуется значительное обоснование, или, по крайней мере, мотивация.

Другая особенность теории аксиоматизации теории множеств заключается в следующем. Обычно сперва мы имеем истины, а затем пытаемся установить среди них порядок через формализацию, важнейшим элементом которой является аксиоматизация. Теория множеств в значительной степени отходит от этого сложившегося идеала аксиоматизации, и ее аксиомы имеют особый статус. С одной (можно сказать, наивной) точки зрения, аксиомы теории множеств могут рассматриваться как истины об универсуме объектов, существующих независимо от мыслей математика. Эта платонистская позиция, как известно, ведет к парадоксам. С другой точки зрения, аксиомы могут рассматриваться как базисные строительные блоки и принципы построения универсума определенного рода объектов. Это точка зрения концептуализма. Наконец, замыкает знаменитую традиционную триаду философии математики формализм, согласно которому аксиомы могут рассматриваться в качестве правил «игры» с заново введенными символами, игры в конструирование доказательств.

Любой разговор об аксиоматизации теории множеств начинается с первой точки зрения, так как это верно уже исторически. Кантор, Дедекинд и другие математики сделали более точными уже существовавшие понятия множества, класса, совокупности. Но новые определения этих понятий встретились со значительными трудностями, крайним выражением которых явились парадоксы.

Существуют две точки зрения на мотивы аксиоматизации наивной теории множеств Кантора. Одна из них, которую предпочитают философы математики, состоит в том, что аксиоматизация была призвана устранить парадоксы и гарантировать их недопущение в будущем. Эта точка зрения превалирует и в литературе по основаниям теории множеств. Другая точка зрения, которая завоевывает все больше сторонников среди тех, кто «учебному» преподнесению материала предпочитает открытие подлинно исторических обстоятельств, состоит в том, что аксиоматизация была предпринята, исходя из внутренних потребностей математики. На самом деле, наверное истина лежит посередине. Ведь можно считать, что аксиомы Э. Цермело и теория типов Б. Рассела, появившиеся в одном и том же 1908 году, представляли собой разные ответы на один и тот же вопрос. Предположение о том, что философски ориентированная теория Рассела и математически ориентированная теория Цермело отвечали на разные вопросы, было бы неестественным как исторически, так и концептуально. А раз эти две теории отвечают на один и тот же вопрос, вряд ли можно считать аксиоматизацию Цермело мотивированной только лишь математическими потребностями.

Однако мотивация аксиоматизации теории множеств внутрима- тематическими потребностями весьма правдоподобна, если принять во внимание особый статус аксиом теории множеств. Реальная ситуация тут заключается не столько в том, что мы имеем истины теории множеств, и затем организуем их в аксиоматическую систему, а скорее в том, что в теории есть такие вопросы, на которые нет ответов, и в поисках их постулируются новые аксиомы.

Различение внешних и внутренних аспектов мотивации аксиом отражает более общую эпистемологическую ситуацию в философии науки. Поиск оснований математики, который превалировал последнюю сотню лет, постепенно вытесняется апелляцией к математической практике. Именно она оказывается существенной при поиске ответов на такие вопросы, как адекватность аксиом. В настоящее время в литературе по философии математики сплошь и рядом разбросаны замечания о том, что считавшиеся ранее важными для математики исследовательские программы в философии математики на самом деле не имели такого уж большого значения. Скорее, все кардинальные вопросы оснований математики мотивировались не столько философскими затруднениями, сколько внут- риматематическими потребностями. Дж. Мур85 демонстрирует исторические свидетельства, согласно которым первые аксиомы теории множеств были мотивированы прагматическим желанием доказать некоторые теоремы, а не программой обезопасить основания мате- матики от парадоксов. Такое переписывание истории науки — типичное занятие победителей, которые представлены исследователями, апеллирующими к математической практике86. Хотя эта точка зрения и является господствующей в настоящее время, трудно отделаться от впечатления, что ее приверженцы не принимают во внимание историю создания Кантором теории множеств, где философские и теологические соображения занимают важнейшее место.

В литературе по теории множеств общепринято обсуждение одной аксиоматической системы, а именно системы Цермело — Френкеля. Она является «стандартной» системой, а все остальные в какой-то степени, если использовать сильные выражения, — «экзотическими» (например, таково мнение о системе «New Foundations» В. Куайна). Больше того, в силу этой стандартности многие стали считать, что именно эта аксиоматика отвечает внутренним свойствам множеств, и аксиомы естественно следуют из понятия множества. Как выразилась Мэдди, некоторые математики полагают Цермело — Френкеля буквальной истиной, а остальные дополнительные аксиомы или кандидаты на них полагают просто метафизикой. Между тем статус стандартных аксиомы Цермело — Френкеля приобрели в силу исторической случайности, и поэтому они не могут занимать какого-то привилегированного положения по сравнению с другими аксиоматическими системами. И уж тем более, аксиомы Цермело — Френкеля не имеют предпочтительного эпистемологического статуса по сравнению с другими аксиомами в двух смыслах. Во-пер- вых, эпистемологически интерес могут представлять другие аксиоматические системы, и во-вторых, даже в рамках системы Цермело — Френкеля некоторые кандидаты на аксиомы могут эпистемологически выглядеть не менее респектабельными.

Исходная система Э. Цермело содержала семь аксиом и была замыслена и построена в духе Оснований геометрии Д. Гильберта. Аксиоматическая система, с точки зрения Цермело, должна была служить основанием для всей математики. Историки математики утверждают, что парадокс, открытый Расселом, был годом ранее известен уже Цермело87. Аксиоматика должна была в первую оче- редь обезопасить математику от парадоксов, и трудно сказать, является ли эта мотивация философской или математической. Как видно из предыдущего замечания о том, что Цермело знал парадокс, ставший известным под названием «парадокс Рассела», вопрос о приоритете является весьма сложным. И действительно, в 1888 г. Дедекинд установил факт тождества множеств с одними и теми же элементами, а Кантор (в письме Дедекинду в 1899 г.) установил два утверждения, напоминающие аксиому суммы и аксиому выделения. При трактовке пустого множества в качестве множества идеи Шредера могли сыграть свою роль. Но вряд ли можно упрекнуть Цермело в отсутствии оригинальности, поскольку этого всего он мог и не знать. Интересно, что сам Цермело отказывался комментировать историю происхождения своей аксиоматической системы.

Более интересна история аксиомы бесконечности. Дедекинд полагал необходимой истиной (в 1888 г.), исходя из психологических соображений, что должна существовать бесконечная совокупность мыслей, поскольку мысль о мысли отлична от самой мысли. Это утверждение Дедекинд принял за доказательство существования бесконечного множества. Более четкие формы аналог этого утверждения обретает в Принципе Рефлексивности, который обсуждался выше. Позднее Бурали-Форти отверг необходимый характер утверждения Дедекинда, и придал ему статус гипотезы, используемой при необходимости. Б. Рассел полагал, что такое психологическое предположение является нелогическим по своему содержанию, и поскольку он следовал Фреге в логицистской программе, с его точки зрения в чистой математике не должно было быть нелогических элементов. Цермело сделал решающий шаг, признав за утверждением статус постулата.

Предметом споров между философами математики и работающими математиками является вопрос о мотивации создания аксиоматической теорий множеств. Философы в целом говорят о попытках избежать парадоксы теории множеств, в то время как работающие математики склонны к тому, что система была рождена внутри- математическими потребностями. В пользу второго утверждения говорит происхождение важных аксиом Цермело — выделения, аксиомы выбора и множества-степени. Все они явились частью доказательства Э. Цермело теоремы о вполне-упорядоченности множеств, что было частью большой математической программы Кантора.