II. Сложное количественное рассуждение

§ 277. Инженеру, который построил мост, предстоит строить другой мост со вдвое большими пролетами. Возможно, что некоторые подумают, что для этого ему стоит только удвоить все части прежнего чертежа. Но отношение между поддерживающими силами равно отношению 12 г 22. А отношение между разрушающими силами (сила тяготения) равно отношению 13:23. А так как видно, что отношение 12: 22 не равно отношению 13: 23, то отсюда делается видным и то, что отношение между поддерживающими силами не равно отношению между силами разрушающими. Каков же тот душевный акт, посредством которого усматривается этот вывод? Очевидно, его нельзя разложить на отдельные ступени. Это простая интуиция, хотя она и заключает в себе несколько элементов; если ее выразить в отвлеченной форме, она выразится такой аксиомой: количественные отношения, которые порознь равны некоторым другим количественным отношениям, не равным между собой, также не равны между собой.

§ 278. Общая истина, что отношения, которые равны одному и тому же отношению, равны между собой, эта истина может рассматриваться как аксиома. Подобно другой, аналогичной ей истине, — вещи, равные одной и той же вещи, равны между собой — она не допускает доказательства. Видя, как близко родственны между собой обе эти истины, некоторые могут предположить, что одна из них есть только частная форма другой и должна быть включена в нее. Однако необходимо провозгласить эту общую истину и касательно отношений. Ибо, будет ли правильно или неправильно смотреть на количественное отношение как на вещь, все-таки бесспорно истинно то, что в умственном процессе, посредством которого мы усматриваем, что отношения, которые равны одному и тому же отношению, равны между собой, концепты, с которыми мы имеем дело, суть отношения, а не вещи, между которыми существуют отношения; поэтому равенство этих отношений может быть усмотрено только после того, как они сами сделаются предметами мысли; таким образом, аксиома, установленная вследствие сравнения трех концептов, является установленной посредством ум- ственного акта такого же вида, как и тот, который имеет своими терминами сами предметы, а не отношения.

§ 279.

§ 280. Посредством какого умственного акта узнается, что отношения, равные одному и тому же отношению, равны между собой? Первое и второе отношения, рассматриваемые как равные, образуют вместе один концепт; второе и третье, рассматриваемые подобным же образом, образуют вместе другой концепт; а из интуиции равенства этих концептов вытекает равенство конечных отношений, или, говоря абстрактно, аксиома выражает интуицию равенства двух отношений между отношениями. Отношения, с которыми мы до сих пор имели дело, были величинами, или, другими словами, количественными отношениями (ratios).