21.3. Континуум-гипотеза

Наконец, Кантор попал в тупик. Хотя он полагал, что между н0 и с нет ни одного бесконечного кардинального числа,— иначе говоря, что с есть второе наименьшее бесконечное кардинальное число — он никогда не мог это доказать.

Вейерштрасс и Гильберт, хотя и очень глубокие и строгие аналитики, верили оба, что доказали эту догадку84, так называемую континуум-гипотезу. Недавно Поль Коэн [15] доказал чисто интуитивными математическими методами, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках существующей формальной логики. Как могли Вейерштрасс и Гильберт так сильно обмануться? Подобно этому, как мог великий логик Фреге работать годами над основаниями логики лишь для того, чтобы, наконец, узнать от Рассела о противоречивости своих методов (см. [23, с. 127], где описан парадокс Рассела)? По моему мнению, эти примеры просто иллюстрируют опасность опоры исключительно на чистую дедуктивную логику. Все это, конечно, не уменьшает важности строгого построения анализа. Безусловно, надо стараться проверять интуицию логикой; Адамар соглашается [21, с. 102, рус. пер. с. 96—97], что зрительная интуиция и здравый смысл подвержены ошибкам. Я лишь подчеркиваю опасность делать анализ исключительно логическим. В этом духе Вейль [23, с. 483] заметил, что, быть может, «только жалкая часть» классического анализа допускает строгое доказательство с осмысленным содержанием (sinner- fullte Inhalt). Подобным образом Уайтхед и Рассел [55, с. vi] признаются, что даже в их шедевре «доказательства более ранних предложений даются без пропуска какого-либо шага, но по мере продвижения работы доказательства постепенно сокращаются». При этом для построения R им понадобилось три толстых тома, написанных в весьма сжатой символике.

Рассмотрение этих фактов убедило меня, что одна лишь формальная логика недостаточна для математического анализа и хотя некоторые его формальные аспекты поддаются механизации ([1, т. 8, с. 64—66] и [17, с. 191—203, рус. пер., с. 204— 219]), многие его существеннейшие понятия являются зрительными. Как писал фон-Нейман [41, с. 27, рус. пер. с. 47]: ... Анализ обладает наиболее развитым математическим аппаратом и является наиболее разработанной областью математики. Таким образом, формальная логика в силу самого существа своего подхода отрезана от наиболее разработанных частей математики ... Как дальнейший косвенный довод в мою пользу, я хочу обратить ваше внимание на существование двух неклассических (еретических?) современных версий анализа, по меньшей мере столь же логических и непротиворечивых каждая, как классический анализ Римана, Вейерштрасса и Пуанкаре. Это, соответственно, конструктивный анализ и нестандартный анализ. Первый ведет свое начало от логического интуиционизма Л. Э. И. Броуэра (отважного противника Гильбертова формализма); он крайне сдержан, даже жеманен в том, что разрешает. Второй следует либеральной традиции Лейбница и Кантора и крайне снисходителен по отношению ко внутреннее непротиворечивым моделями реальности. В полное нарушение Вейерштрассова пуризма, он свободно говорит о «бесконечно малом» и «бесконечно большом», без всяких е и 6. Чтобы посмотреть, как может дробиться анализ, руководимый только дедуктивной логикой, рекомендую вам две превосходные классические книги, описывающие эти версии 85.

<< | >>

↑

Источник: Биркгофф Г.. Математика и психология. 1977

Еще по теме 21.3. Континуум-гипотеза: