2. Критика логических аргументов

Нечто подобное наблюдалось и в физике. Многие физики воспринимали рост абстрактности своей науки как уход от истинного предмета физики, подмену его математическими фикциями. Постепенно, однако, было понято, что целью физики является не отыскание наглядного и понятного для всех механизма явлений, а предсказание и объяснение явлений из минимума принципов, которые сами по себе могут быть далеко не очевидными. Как только было понято предсказательное, чисто дедуктивное значение физических теорий, традиционные 1ребования наглядности и понятности физических принципов были отброшены как излишние, не проистекающие из функции физической теории.

Аналогичное изменение в методологических воззрениях произошло и в математике. В настоящее время уже достаточно ясно, что задача математических теорий состоит не в описании некоторой очевидности, а в построении систем объектов и операций, полезных для моделирования реальных отношений, открываемых в науке и технике. С этой точки зрения, которую можно назвать функциональной или прагматической, требования содержательности и интуитивной ясности понятий, которые были столь существенными для Гаусса, Кронекера и Брауэра, представляются произвольными ограничениями, не проистекающими из сущности (назначения) математики. Это относится и к требованию конструктивности. Никто не откажется от использования математической теории только потому, что некоторые ее посылки не обладают интуитивной ясностью или конструктивностью. Математическая практика далеко вышла за пределы этих ограничений. Но это значит, что основной аргумент Брауэра против закона исключенного третьего покоится на произвольном допущении о природе математической теории, не проистекающем из ее назначения.

В основе второго аргумента Брауэра лежит определенное понимание утверждения и отрицания, которое Брауэр считает необходимым принять для сферы истинной математики. В классической математике эти понятия дополняют друг друга так, что отрицание истины есть ложь и отрицание лжи есть истина, вследствие чего двойное отрицание всегда приводит нас в исходную позицию. В принципе и при конструктивном определении математического существования эта симметрия могла бы быть сохранена, если бы мы определили отрицание как просто отсутствие построения. Закон исключенного третьего остался бы в таком случае общезначимым и означал бы относительно определенного объекта, что либо его построение существует, либо нет. Но Брауэр определяет отрицание не просто как отсутствие осуществленного построения объекта, но как наличие некоторого рассуждения, а именно, доказательства абсурдности предположения о существовании этого объекта. Но тем самым немедленно разрушается классическая дихотомия истинности и ложности, ибо фактическое отсутствие построения, очевидно, не тождественно доказательству его принципиальной невозможности. Операция отрицания становится более сложной и двойное отрицание уже не приводит нас к исходному состоянию. Так появляются псевдообъекты типа действительного числа, относительно которого абсурдно утверждение его иррациональности и в то же время невозможно утверждение рациональности.

Вопрос о том, насколько законным является принятое Брауэром определение отрицания, сводится к вопросу о том, насколько это определение продиктовано функцией математики. Подход с этой позиции позволяет утверждать, что никакого опровержения закона исключенного третьего здесь также не происходит. Единственный мотив, оправдывающий принятие в интуиционистской математике именно такого определения отрицания — это стремление сделать операцию отрицания содержательной, определить ее через понятие построения.

Специфика отрицания в классической логике состоит в том, что оно обеспечивает двузначность этой логики. В настоящее время мы имеем все доводы за то, что двузначность реальной логики проистекает из глубинных предпосылок мышления и не может быть устранена на основе каких-либо частных фактов или произвольных определений.

Для многих математиков начала XX века представлялось достаточно убедительным допущение Брауэра о том, что источником парадоксов, обнаруженных в теории множеств, является использование закона исключенного третьего за пределами его значимости. В настоящее время, однако, эта гипотеза не выглядит убедительной. Еще в начале

XX века Б. Рассел показал, что все известные парадоксы устраняются при принятии естественных ограничений при определении понятий, которые он сформулировал в своей теории типов. Э. Церме- ло (1908) показал, что возможно непротиворечивое аксиоматическое представление теории множеств при запрете на отношение самопринадлежности множеств, т. е. при исключении выражений вида X Є X. А.Н. Колмогоров в статье «О принципе tertium поп datur» (1925) установил, что для широкого класса математических рассуждений закон исключенного третьего совершенно безопасен: он не может быть источником парадоксов, ибо парадоксы, содержащиеся в классической теории, неизбежно воспроизводились бы и в аналоге этой теории, не использующей закон исключенного третьего. Аналогичное заключение следует также и из результата К. Гёделя (1933), согласно которому все противоречия классической арифметики, если такие существуют, воспроизводятся и в интуиционистской арифметике. Мы можем с полной определенностью утверждать: со времен Брауэра логика не получила ни одного результата, подтверждающего предположение, что закон исключенного третьего является источником парадоксов в теории множеств. Исследования, в общем, подтверждают идею Рассела, согласно которой возникновение парадоксов обусловлено логикой определений, но не логикой дедукции.

Аргумент от неразрешимости наиболее весом, так как он основан на логическом факте, который не может быть поставлен под сомнение: многие математические теории неполны и далеко не все проблемы разрешимы в смысле доказательства А или не-А. Однако этот аргумент, если подходить к делу достаточно строго, также бьет мимо цели. Когда мы говорим, что в теории возможна ситуация, при которой некоторое утверждение недоказуемо и неопровержимо, то мы делаем высказывание о доказуемости, относящееся к метатеории. А именно, мы утверждаем, что формула «А или не-А» не является универсальной в метаязыке при определенной ее интерпретации (существует доказательство А или существует доказательство не-А). Но почему ограничение, существенное для метатеории, для характеристики системы доказательств должно истолковываться и как ограничение на логику самих доказательств, то есть на логику теории? Общее логическое рассмотрение показывает, что указанное метатеоретическое ограничение будет сохраняться при различных изменениях логики доказательства. Метатеоретическая формула «А или не-А», в общем случае, не универсальна и для классических, и для интуиционистских теорий. Никакой прямой связи между логикой теории и логикой метатеории не существует. Но это значит, что допустимая логика доказательства в теории должна иметь некоторое автономное оправдание, по крайней мере, ясно, что ее возможные ограничения не проистекают непосредственно из ограничений, значимых для метатеории. При строгом различении между логикой теории и логикой метатеории то положение, что не все проблемы разрешимы, никак не может быть истолковано как аргумент для отказа от классической логики.

3