2. Критика концепции Лакатоса

Изложенный выше подход к пониманию надежности математического доказательства делает логику наших возражений совершенно определенной. С точки зрения праксеологической теории очевидности основная ошибка Лакатоса состоит в том, что он не отделяет ассерторических очевидностей от аподиктических и не осознает особого обосновательного статуса последних. Это убеждение Лакатоса существенно связано с эмпирическим воззрением на математику, согласно которому математические очевидности в своей основе являются очевидностями эмпирического и индуктивного порядка. Это воззрение, однако, не обосновано, и оно полностью опровергается на основе более глубокого анализа природы первичных математических идеализаций. Если первичные очевидности математики относятся к универсальной форме мышления, то они внеэмпиричны, вневременны и недоступны для корректировки на основе каких-либо контрпримеров. Но это значит, что регресс в посылках не может быть бесконечным. Он неизбежно задерживается на уровне аподиктических очевидностей или посредством однозначно определенных утверждений, принятых в качестве аксиом.

Лакатос смешивает понятия строгости и надежности доказательства, выводя недостижимость надежности из недостижимости окончательной строгости. Ясно, что строгость доказательства может возрастать и после достижения им полной надежности. Аксиоматизация и формализация несомненно увеличивают строгость доказательств, но они никогда не дезавуируют законченных содержательных доказательств в смысле зависимости определенных следствий от определенных посылок. Совершенствование языка и критериев строгости в зрелой теории не опровергает принятых теорем, а ориентируется на них как на свой исходный и абсолютный базис. Бесконечный процесс обновления языка математики и уточнения критериев строгости не означает бесконечной корректировки посылок и бесконечного процесса устранения контрпримеров. Историческое углубление анализа доказательства не может поколебать завершенные доказательства и систему признанных теорем.

Лакатос прав в том, что каждая новая эпоха в математике сужает чисто интуитивный базис математики, заключая в строгие определения те понятия и утверждения, которые использовались раньше на интуитивном уровне. История понятий числа, функции, множества, алгоритма и т. п. хорошо иллюстрирует то положение, что все интуитивное, имплицитное в математике рано или поздно эксплицируется, оформляется в точном языке, задается аксиоматически и формализуется. Но Лакатос, несомненно, ошибается, допуская, что такого рода экспликация очевидностей может поставить под сомнение признанные утверждения теории. Эта идея не находит никакого подтверждения в истории математического мышления и противоречит общей логике соподчинения строгости и надежности в математическом рассуждении. В действительности, новые критерии строгости принимаются только в том случае, если они согласуются с уже признанным содержанием математики. Анализ доказательства не проникает в сферу сложившегося математического знания, которая представляет, таким образом, систему абсолютных и некорректируемых дедуктивных связей.

Лакатос убежден в том, что математики не имеют и не могут иметь объективных критериев строгости, достаточных для того, чтобы однозначно зафиксировать факт строгого доказательства даже в тех случаях, в которых мы его в действительности достигли. В этом положении Лакатоса есть доля истины, состоящая в том, что не существует полной системы требований и процедур, которая позволяла бы во всех случаях производить проверку доказательства и выносить окончательный вердикт относительно его строгости.

Еще одно заблуждение Лакатоса, существенно определяющее его позицию, состоит в неадекватном понимании статуса математических определений. Лакатос убежден (эта идея особенно ясно выражена в последних разделах его книги), что любое определение может быть неявно расширено, и это обстоятельство само по себе может быть источником контрпримеров. Доводы, которые Лакатос приводит здесь, страдают неясностью и оторванностью от практики математического рассуждения. Можем ли мы, к примеру, привести контрпример к теореме Пифагора, расширив понятие прямой? Конечно, при развитой фантазии можно постараться это сделать, приписав прямой, к примеру, некоторые свойства кривой линии, но вряд ли кто будет считать рассуждение, основанное на такой фантазии, рассуждением в рамках геометрии Евклида. Математическое понятие в отличие от понятия эмпирического на определенной стадии зрелости жестко определяется через другие понятия теории и его произвольное расширение (явное или неявное) тем самым совершенно исключается. Мы не можем изменить свойства прямой, не изменив свойств плоскости, точки, треугольника и т.д., т. е. не разрушив системы понятий теории вообще. Зрелая математическая теория не только однозначно определяет структуру своих доказательств, но и свою собственную структуру, причем таким образом, что исключается всякач возможность переопределения ее основных понятий.

Расширение понятия, чреватое контрпримерами, возможно только на первоначальном уровне его становления, когда оно еще не вошло в жесткую систему принятых определений. Контрпримеры при доказательстве теоремы Эйлера, которые анализирует Лакатос, возникают до тех пор, пока мы рассматриваем многогранник на интуитивном уровне, вне его строгого логического определения, и они немедленно исчезают, как только это понятие редуцируется к адекватной системе понятий, раскрывающей его содержание. Доказательство теоремы Эйлера в рамках современной топологии никем не подвергается сомнению. Диалектика доказательств и опровержений, ярко продемонстрированная Лакатосом в своей книге, безусловно имеет место на этапе становления теорем, но она не может быть отнесена к любой теореме и не может служить основанием для заключения о релятивности математического доказательства вообще. Используя аналогию Поппера, мы можем сказать, что в математике, как и во всякой другой науке, мы начинаем забивать сваи в болото, но в отличие от других наук эти сваи достигают здесь твердого грунта, абсолютного обосно- вательного слоя, не подверженного изменению. Центр зрелой математической теории является неразрушимым в том смысле, что он не допускает никаких контрпримеров и никаких опровержений. Здесь может обнаружиться недостаток строгости, но никогда не будет места для критики надежности.

Слабость концепции Лакатоса проявляется более всего в том факте, что она противоречит фактам истории математики. Если бы Лакатос был прав, если бы наше бесконечное движение к строгости было действительно связано с постоянной корректировкой тривиальных лемм, то все наши теоремы постоянно распухали бы от добавления все новых и новых ранее упущенных лемм. Ничего подобного в реальной математике не происходит. Замечательный факт, относящийся к существованию математических теорий, состоит в том, что никакие контрпримеры никогда не разрушали их признанных результатов. Контрпримеры в математике всегда возникали только на периферии теории, в точках ее роста и полностью устранялись ее систематическим построением.

Лакатосовская критика математического доказательства должна быть, таким образом, полностью отвергнута. Она является ценной лишь в том отношении, что побуждает более внимательно исследовать основания нашей веры в строгость математического рассуждения.