Свойства бинарных отношений

Рефлексивность есть свойство, которое состоит в том, что каждый элемент отношения находится в том же отношении к самому себе.
Аксиома для рефлексивности: \/x\/y(xRy) з (xRx л yRy) .
Рефлексивными отношениями, например, являются отношения «равенства», «эквивалентности», «тождества» и т.

д.
Отношение, не удовлетворяющее данному свойству, называется антирефлексивным - когда ни один предмет данного отношения не находится в этом отношении к самому себе.
Аксиома для антирефлексивности: \/x\/y(xRy) з (xRx л yRy)
Антирефлексивными являются, например, отношения «отцовство», «большинство», «старшинство».
Симметричность - это такие отношения, когда для любых предметов х и у данного класса является верным то, что если предмет х находится в каком-то отношении к предмету у, то и предмет у находится в этом отношении к предмету х.
Аксиома для симметричности: \/x\/y(xRy з yRx) .
Свойством симметричности обладают такие отношения, например, как «равенство», «неравенство», «соседства».
Антисимметричность - это такие отношения между предметами, когда для любых (необязательно разных) предметов х и у данного класса является верным, что если предмет х находится в каком-то отношении к предмету у, то предмет у не находится в этом же отношении к предмету х.
Аксиома для антисимметричности: \/x\/y(xRy = yRx) или \/x\/y(xRy Ф yRx).
Примерами такого рода отношений, являются, например, отношения «являться мужем», «быть больше».
Асимметричность - это такие отношения между предметами, когда для любых разных предметов х и у данного класса является верным, что если предмет х находится в каком-то отношении к предмету у, то предмет у не находится в этом же отношении к предмету х.
Данные отношения имеют место тогда, когда некоторые отношения не являются ни симметричными, ни антисимметричными.

Асимметричным отношением является, например, отношение «ухаживать за», - оно не является симметричным и в то же время с необ-ходимостью не является асимметричным.
Транзитивность - это свойство отношиний для х, у и z некоторого класса, которое устанавливается тогда и только тогда, когда х находится в некотором отношении с у и у находится в том же отношении кг, а это влечет то, что х находится в том же отношении с z.
Аксиома для транзитивности: VxVyVz(xRy л yRz) з (xRz) .
Примерами транзитивных отношений являются отношения «больше», «равно», «ниже».
В случае, если указанное выше условие не выполняется, отношение называется нетранзитивным.
Аксиома для нетранзитивности: VxVyVz(xRy л yRz) з (xRz).
Например, таковыми являются отношения «любить», «ненавидеть», «зависеть», «владеть».
Эквивалентность - это такие отношения, которые обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Эквивалентность каких-либо предметов означает их равен-ство (тождество) в каком-то отношении.
Эквивалентными являются, например, отношения «равенства», «тождества», «сверстничества».
Отношения порядка. В математике различают три вида структур: алгебраические, топологические (сохраняющие непрерывность) и структуры порядка. Отношения порядка обладают свойст-
вами антисимметричности/асимметричности и транзитивности,
т. е. отношения, удовлетворяющие указанным свойствам, квалифицируются как отношения порядка.

<< | >>

↑

Источник: М.Д. Купарашвили, А.В. Нехаев, В.И. Разумов, Н.А. Черняк.. Логика: учебное пособие М.Д. Купарашвили, А.В. Нехаев, В.И. Разумов, Н.А. Черняк. - Омск: Изд-во ОмГУ,2004. - 124 с.. 2004

Еще по теме Свойства бинарных отношений: