НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЛИНГВИСТИКЕ

§ 179. В последние десятилетия в языкознании усилилось стремление к тому, чтобы лингвистические описания имели максимально точный, строгий и объективный характер. Описание языка обладает указанными признаками, если существуют определения лингвистических понятий, в принципе исключающие возможность различных толкований, а также имеются столь же точные, полные и недвусмысленные правила оперирования этими понятиями и приложения их к конкретному фактическому материалу (ср.

§ 197). Соблюдение изложенных требований делает весьма маловероятной ситуацию, при которой разные лингвисты, работающие с одним и тем же материалом, получают несовпадающие результаты1. Иначе говоря, результаты, полученные ученым, который использует точные методы исследования, должны быть воспроизводимыми: в рамках принятой системы понятий и методики они зависят лишь от объективных условий, т. е. от характера материала, поэтому другой исследователь на том же материале должен прийти к тем же выводам.
Вполне естественно, что в современных лингвистических работах, обнаруживающих стремление к точности анализа, нередко используются понятия и приемы логики и математики — наук, предоставляющих в распоряжение исследователя универсальный аппарат, который может быть использован для точного, свободного от субъективизма изучения и описания объектов самой разной природы. Не владея некоторыми элементарными понятиями из области логики и математики, иногда трудно следить за новейшей лингвистической литературой.
Необходимо сразу же сказать, впрочем, что использование специальных понятий математики в языкознании еще не есть математическое решение лингвистических проблем2. Гораздо чаще применение математических понятий реально служит скорее для уточнения, лучшего уяснения и более корректного изложения хода лингвистического анализа и его результатов, нежели для исследования, как такового. Думается, однако, что даже и эти возможности, которые дает нам математика, не следует игнорировать. /172//173/
Описанное выше положение во многом объясняется тем, что математика создавалась для изучения относительно простых объектов, которые более или менее легко поддаются формализации. Для анализа же столь сложных систем, как язык (или общество), «поведение» которых сравнительно слабо детерминировано, необходим, вероятно, особый математический и логический аппарат. Создание аппарата этого рода — дело будущего3.
1В том случае, когда в самой принятой системе понятий предусматривается возможность разных результатов, то их число и характер должны быть строго предопределены, и все исследователи получают один и тот же набор ответов.
Как это имеет место, скажем, в физике, где физические проблемы ставятся и решаются собственно математическими средствами. В последнее время появились попытки разработать особые математические теории именно для изучения вероятностных, слабо детерминированных систем (теории
Особое место занимает в языкознании применение методов математической статистики. Без математико-статистической обработки данных невозможно обойтись в любом исследовании, оперирующем обширным фактическим материалом, который в принципе не может быть однородным и в котором можно обнаружить лишь статистические закономерности. Такая ситуация типична для экспериментальной фонетики, имеющей дело с результатами измерений параметров речи, для психолингвистических экспериментов, социолингвистических исследований и т. п. В этой небольшой книге практически невозможно изложить методику математикостатистической обработки опытных данных. Ниже мы остановимся лишь на разъяснении наиболее элементарных понятий неколичественной математики и логики.
§ 180. Одним из основных математических понятий является понятие множества. Определения множества не существует по той причине, что не существует более широкого понятия, частным случаем которого оно являлось бы. (Так, мы говорим: Млекопитающие — это животные, которые..., Звезды — это небесные тела, которые..., но для определения множества у нас нет слова, которое можно было бы употребить в соответствующем высказывании после слова это.)
Множество трактуют как совокупность предметов, объединенных каким-либо общим признаком, где слово «совокупность» просто синоним «множества», а не термин для более широкого понятия. Признак, объединяющий предметы в составе множества, может быть каким угодно. Например, все фонемы данного языка представляют собой некоторое множество, все словоформы данного текста образуют определенное множество, все тексты на русском языке составляют множество и т. д. и
т.              п.
Предметы, составляющие данное множество, называют его элементами. Запись А = {х, у, ..., z} означает, что существует множество А, которое состоит из элементов х,
у,              ...z.
Множество задают либо простым перечислением всех его элементов, либо путем указания на признак (или признаки) этих элементов. Например, мы можем задать множество А = {п, п’, б, б’, в, в’, м, м’, ф, ф’} путем перечисления всех его элементов (как это и сделано выше), но то же множество можно задать и путем указания на признак его элементов: А есть множество всех губных согласных русского языка.
Множество может состоять из одного-единственного элемента. Например, множество заднеязычных щелевых фонем русского языка состоит из одного элемента               фонемы X. /173//174/
Множество может быть пустым, т. е. не содержать ни одного элемента. Например, множество придыхательных русского языка является пустым4. Точно так же пустым является множество форм будущего времени совершенного вида 1-го лица единственного числа глагола победить.
§ 180.1. Элементом множества может быть другое множество. В таких случаях говорят о подмножествах данного множества. Например, согласные составляют подмножество множества всех фонем, а губные согласные, в свою очередь, — подмножество множества согласных.
Принадлежность элемента множеству принято записывать так: хеА (читается: «элемент х принадлежит множеству А»), Принадлежность подмножества записывается так: AczM (читается: «множество А является подмножеством множества М»).
размытых множеств, размытых алгоритмов). Возможно, эти новые представления смогут оказаться полезными для лингвистики. В русском языке нет придыхательных согласных, которые были бы самостоятельными фонемами.
§ 180.2. У двух или более множеств могут быть общие элементы. Множество С, которое состоит из тех, и только тех элементов множеств А и В, которые принадлежат обоим этим множествам (А и В), называется произведением, или пересечением, множеств А и В. О множествах А и В в таком случае говорят, что они пересекаются. Например, множество всех губных согласных и множество всех звонких согласных русского языка пересекаются: в качестве их произведения выступает множество С = {б, б’, в, в’}.
Суммой, или объединением, множеств А и В называется множество С, которое включает все элементы А и все элементы В, и никакие другие элементы в множество С не входят. Например, сложение множества гласных и множества согласных дает сумму — множество всех фонем данного языка5.
Множества А и В, в сумме дающие С, могут одновременно пересекаться. Чтобы учесть и этот случай, говорят, что С, т. е. объединение множеств А и В, есть множество всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств- слагаемых, т. е. А или В. Например, если мы объединим множество А глухих согласных русского языка и множество В переднеязычных русских согласных, то часть элементов множества-суммы С будет принадлежать одновременно и А, и В (т, т \ ц, с, с ’), часть же — только А (п, п\ф,ф ’, ш, ч, к, к’, х, х’) или только В (д, д\ з, з’, н, н ’, л, л’).
§ 180.3. Разбиение множеств на непересекающиеся подмножества есть не что иное как классификация, которая занимает столь заметное место в лингвистике, во всяком случае при исследовательском подходе.
При классификации элементы относят к одному и тому же подмножеству на основании того, что все они обладают каким-либо определенным признаком, которого лишены элементы всех других подмножеств. Более точно это выглядит следующим образом. Обычно в качестве основания классификации выбирают признак, принимающий несколько значений, например, признак подъема для гласных, который принимает, допустим, три значения: верхний подъем, средний подъем, нижний подъем. Сколько значений принимает признак — столько подмножеств, или классов, выделяется. Например, а относится к гласным нижнего подъема, э, о — к гласным среднего подъема, и, у, ы — /174//175/ к гласным верхнего подъема. Получаем в результате три класса (подмножества) гласных.
§ 180.4. Элементы каждого класса (подмножества), полученные в результате классификации, находятся в отношении эквивалентности друг к другу. Иначе говоря, все они эквивалентны, или неразличимы с точки зрения данного признака. Элементы, находящиеся в отношении эквивалентности, характеризуются следующим: каждый элемент эквивалентен сам себе, что называется рефлексивностью; если элемент х эквивалентен элементу у, то элемент у эквивалентен элементу х, что называется симметричностью; если элемент х эквивалентен элементу у, а элемент у эквивалентен z, то элемент х эквивалентен z, что называется транзитивностью.

Из наличия рефлексивности, симметричности и транзитивности соответственно следует эквивалентность.
Описанные условия очень важны. Необходимо также постоянно помнить, по какому признаку определяется отношение эквивалентности. Например, согласная /s/ эквивалентна согласной Ы по месту и способу образования, а согласной Ш — по месту образования и глухости. Разумеется, из этого не следует транзитивности с точки зрения всех признаков и не следует, что /s/, опять-таки с точки зрения всех признаков, Если не выделяются особые категории типа полугласных, глайдов.

эквивалентна Л/, хотя и можно, безусловно, сказать, что все три фонемы эквивалентны по месту образования (т. е. все они являются зубными, или переднеязычными).
§ 180.5. Кроме сложения и умножения множеств говорят также о вычитании множеств, результатом которого является их разность. Разностью множеств А и В называют множество С = А - В, в которое входят все элементы множества А, не принадлежащие В. В том случае, когда В является частью (подмножеством) множества А, разность А и В называют дополнением к множеству В в А.
Это важное для лингвистики понятие. Если рассматривать множество всех контекстов (окружений), в которых находится данная фонема или морфема, т. е. их полную дистрибуцию, то можно сказать, что подмножества контекстов, в которых встречаются несвободные варианты фонемы или морфемы, являются дополнениями друг к другу. Именно на этом и основано, по существу, понятие дополнительной дистрибуции.

§ 180.6. Сложение, умножение и вычитание множеств иллюстрируют обычно схемами, которые мы приводим ниже (см. рис. 1, 2, 3).
На рис. 1 показано пересечение множества А и В (символически Ап В), ИХ произведение — множество С (заштриховано). На рис. 2 показано сложение, или объединение множеств А и В (символически А и в), их сумма — множество С (заштриховано). На рис. 3 показано вычитание множеств А и В (символически А - В), их разность — множество С (заштриховано), /пы/пе/
§ 181. Операции, аналогичные умножению и сложению в теории множеств, в логике совершаются по отношению к высказываниям. Высказыванием называют некоторое предложение, которое может быть истинно или ложно; при этом не интересуются, во-первых, структурой высказывания, оно выступает как нечто цельное, и, во-вторых, тем, истинно или ложно данное высказывание в действительности. В логике занимаются только операциями над высказываниями, которые из истинных высказываний получают истинные, из истинных — ложные и т. д.
Над высказываниями можно осуществлять следующие операции: отрицание: если высказывание X истинно, то его отрицание X («не-Х») ложно, и наоборот; X по отношению к высказыванию X аналогично дополнению А — В по отношению к множеству В в А при отрицании множеств; конъюнкция — отношение «и», объединение двух высказываний (аналогичное пересечению множеств): если высказывания X и Y одновременно истинны, то истинна и их конъюнкция X л Y («X и Y»). дизъюнкция — отношение «или» («X или Y»): высказывание XvY истинно, если хотя бы одно из высказываний истинно (эта операция аналогична сложению множеств); дизъюнкция может быть строгой (сильной) и слабой: первый тип представлен тогда, когда имеется в виду исключающее «или», т. е. «или X, или Y, но не оба одновременно», второй тип соответствует включающему «или» («и/или»), т. е. «или X, или Y, или оба одновременно»;
импликация — отношение «если..., то...»: высказывание X —gt; Y истинно всегда, кроме того случая, когда X истинно, a Y ложно; материальная эквивалентность — отношение «если, и только если»: сложное высказывание X Y ложно только тогда, когда X истинно, a Y ложно, или наоборот.
Все указанные операции также играют важнейшую роль в лингвистическом описании. Так, на операции отрицания построены все классификации, в основании которых лежат привативные оппозиции (см. § 47). Например, глухие представляют собой не что иное, как не-звонкие, т. е. результат применения операции отрицания к «звонкости».
На операции конъюнкции, по существу, основаны синтагматические связи, а не операции дизъюнкции — парадигматические.
Проиллюстрируем применение понятий строгой и слабой дизъюнкции. Возьмем высказывание X v Y, где X представляет собой высказывание «фонемы дифференцируют означающие морфем», a Y — «фонемы дифференцируют означающие слов». При строгой дизъюнкции высказывание Xv Y окажется ложным, так как невозможно, чтобы фонемы дифференцировали, скажем, два слова, не дифференцируя одновременно хотя бы часть морфем, входящих в эти слова. При слабой дизъюнкции, однако, то же высказывание окажется истинным, но оно будет оставаться таковым и тогда, когда X ложно, a Y истинно, что с лингвистической точки зрения неприемлемо (слова опять-таки не могут дифференцироваться, если все их морфемы идентичны; разумеется, здесь в принципе не должна учитываться омонимия).
Из изложенного выше должно быть ясно, что традиционное высказывание «фонемы дифференцируют означающие морфем или слов» логически непра- /17б//177/вомерно (это свойство фонем относится непосредственно только к морфемам).
Любопытно истолкование некоторых фактов грамматики изолирующих (также некоторых агглютинативных) языков в свете логических положений об импликации и материальной эквивалентности. Известно, что в языках типа русского употребление определенных показателей для выражения соответствующего грамматического значения обязательно: если нужно выразить, например, значение множественности, то употребляются окончания -ы, -и, -а и др.; если же употреблены указанные показатели, то словоформы передают значение множественности. Иначе говоря, употребление показателей и выражение значения множественности находятся в отношении материальной эквивалентности.
В отличие от этого в таких языках, как бирманский, тюркские и ряд других, употребление показателей множественного числа передает значение множественности, но из их неупотребления не следует значение единичности, например: бирм. са2 оу4, турецк. штаб (без показателя множественного числа) могут передавать и значение «книга», и значение «книги». Иначе говоря, между употреблением показателей множественного числа и значением множественности существует отношение импликации: как было сказано выше, из ложности X в высказывании X —gt; Y не следует ложность Y, т. е. из неупотребления показателя множественного числа не следует отсутствие значения множественности.
§ 182. В логике и математике очень важную роль играет понятие исчисления. Об исчислении говорят тогда, когда имеется точно определенный, количественно и качественно, алфавит — набор элементов, символов и имеются правила образования, или формационные правила, по которым из элементов данного алфавита можно построить формулы, или выражения. Правила должны перечислять абсолютно все возможные операции с символами, и только их. Выражения, полученные посредством применения правил, называются правильно построенными формулами (ппф), и они принимаются в качестве аксиом.
Примером могут служить цифры (алфавит) и арифметические операции с ними (формационные правила).
Обычно наряду с этим имеются также правила преобразования, или трансформационные правила, или правила вывода. По этим правилам, которые также носят точный и исчерпывающий характер, можно из аксиом построить новые выражения, допустимые в данной системе.
Такие системы называются формальными системами, исчислениями, или формализмами.
Если символы и выражения исчисления имеют определенную смысловую интерпретацию, то говорят, что исчисление является семантически интерпретированным. Интерпретация указывает, какие объекты, свойства, процессы описывает данное исчисление. Например, дифференциальные уравнения соответствующего вида описывают поведение механических или электрических колебательных систем, следовательно, этот фрагмент дифференциального исчисления семантически интерпретирован.
Исчисление, обладающее семантической интерпретацией, называют формальным (формализованным) языком. /177//178/
Легко видеть, что именно к идеям теории формальных систем восходят представления трансформационно-порождающей грамматики. Можно сказать, что в трансформационно-порождающей лингвистике грамматика предстает в виде формальной системы, алфавит которой — символы S, NP, VP, N, V и т. д., а формационные правила — правила подстановки. Ядерные предложения в общем аналогичны аксиомам (ппф), в качестве трансформационных правил выступают, естественно, трансформации. Каждое предложение мыслится как объект, который можно получить путем применения формационных и трансформационных правил к исходному алфавиту.
В полном согласии с представлениями, развиваемыми теорией исчислений, семантика в трансформационно-порождающей грамматике рассматривается как интерпретация символов и выражений формальной (синтаксической) системы, а понятие «язык» используется для обозначения совокупности правильно построенных предложений.

<< | >>

↑

Источник: В. Б. Касевич. ЭЛЕМЕНТЫ ОБШЕЙ ЛИНГВИСТИКИ. 1977

Еще по теме НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ,ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЛИНГВИСТИКЕ:

- История русского языка - Лингвистика - Перевод и переводоведение (Английский язык) - Прикладная лингвистика - Риторика - Русский язык - Социолингвистика -