1. Программа логицизма

Исходной базой обоснования математики являются у Фреге аксиомы логики, принятые на основе понятия логической (семантической) истины.

Фреге считает совершенно несостоятельной эмпирическую концепцию числа как понятия, сформировавшегося в процессе счета, философы, объясняющие понятие числа из опыта счета, смешивают, по его мнению, сферу приложения арифметических истин с самими этими истинами. Он отклоняет и кантовское понимание числа как объекта, данного в чистом созерцании. Созерцание, по мнению Фреге, как всякая чувственность вообще, не может вывести нас за пределы узкого круга истин. Он убежден, что все то, что Кант стремится обосновать через восприятие в чистом созерцании, может быть строго доказано из аналитически истинных положений логики. Фреге не соглашается также и с аксиоматическим подходом к определению числа, который был предложен Пеано и Гильбертом. Задача обоснования арифметики, считает Фреге, состоит в раскрытии подлинного смысла числа, как оно используется в науке и в обыденной жизни. Аксиоматика заведомо не решает этой задачи, так как она указывает лишь на неопределенную совокупность объектов, удовлетворяющих аксиом9.

За основу определения числа Фреге берет теоретико-множественное понятие эквивалентности классов, определяемое в свою очередь на основе понятия взаимно-однозначного соответствия. Конкретное число п характеризуется при таком подходе как класс эквивалентных классов, содержащих п элементов10. Собственно математическая задача Фреге состояла в демонстрации того, что такое определение может быть адекватно переведено на язык логики, и что все интуитивно ясные отношения между числами натурального ряда могут быть воспроизведены как отношения между чисто логическими объектами и доказаны в виде логических истин.

Признано, что Фреге достиг существенного успеха в реализации своей программы. Он обосновал первичные принципы арифметики, имеющие важное значение для ее последовательного аксиоматического построения, а именно, отсутствие предшествующего элемента для нуля, невозможность повторения одного и того же элемента в последовательности чисел, а также принцип индукции, который он формулирует как необходимость передачи свойства от первого элемента к последнему в наследственных рядах элементов. Исходя из определения наследственного ряда, Фреге пытался также строго доказать положение о его бесконечности, т. е. об отсутствии в нем последнего элемента11. Постепенно, однако, было понято, что это последнее доказательство содержит в себе круг, т. е. скрытую предпосылку, равнозначную доказываемому тезису. Эта скрытая предпосылка получила в дальнейшем название аксиомы бесконечности.

Судьба теории Фреге хорошо известна. Б. Рассел обнаружил в ней возможность противоречивого рассуждения, которое известно сегодня под названием парадокса Рассела. Он показал, что если определить понятие нормального множества как множества, не содержащего себя в качестве своего элемента, то нельзя выяснить, является ли множество всех нормальных множеств нормальным или ненормальным: допущение его нормальности приводит к строгому выводу его ненормальности и наоборот. Поскольку рассуждения Радсела не выходили за сферу методов, разрешенных теорий Фреге, то эта теория была поставлена под сомнение в плане внутренней согласованности своих принципов.

Рассел продолжил исследования Фреге, поставив задачу выявить истоки парадоксов в логических исчислениях и найти средства их устранения. В исследованиях Рассела наиболее важными с современной точки зрения являются два момента, а именно, изобретение теории типов, вскрывающей источник парадоксов, и прояснение того факта, что некоторые принципы, существенные для построения арифметики и теории множеств, не являются истинами логики.

Суть теории типов состоит в том, что математические высказывания делятся на классы в соответствии с областью их определения. Пусть имеется некоторая область исходных объектов а, 6, с и т. д. К первому типу относятся высказывания о свойствах этих объектов: /(а), д(Ь) и т.д.

Ограничения Рассела являются эффективными в том смысле, что они позволяют устранить все известные парадоксы логики и теории множеств. Парадокс Рассела, в частности, оказывается невыводимым вследствие некорректности понятия нормальности всех нормальных множеств — как понятия, имеющего форму /(/).

Рассел был убежден, что исправленная таким образом логицистская программа будет достаточна для обоснования математики, в том числе и таких ее разделов, как теория множеств. В фундаментальном труде «Principia Mathematica» (1910-1913) Рассел и Уайтхед предприняли попытку обосновать на этих принципах арифметику и теорию множеств. Этот труд, с одной стороны, продемонстрировал возможности логического анализа математики, а с другой — выявил его принципиальную ограниченность. Одним из результатов исследования явилось открытие того факта, что систематическое изложение математики нуждаётся в утверждениях, не редуцируемых к логике. Было установлено, что к таким положениям относятся аксиома бесконечности, аксиома выбора и аксиома сводимости, устанавливающая корреляцию между понятиями высших уровней и понятиями первого уровня.

Этот результат принципиально важен для философии математики, ибо он показал ошибочность мнения Лейбница и многих его последователей, что математика не содержит ничего кроме усложненных логических определений и их связей. Это значит, что математика не есть логика, что математическое мышление покоится на существенно иных основаниях, чем чистая логика. Мы поняли, в частности, что логика принципиально конечна в содержании своих понятий, и что введение бесконечности в формальную теорию является прерогативой собственно математического мышления.

Сам Рассел истолковал этот факт в релятивистском духе как неустранимую гипотетичность математического мышления. Он сделал отсюда вывод, что математические теории истинны лишь в той мере, в которой истинна наша гипотеза о бесконечности предметов во Вселенной. Поскольку никакой опыт не может дать нам ни положительного, ни отрицательного ответа на этот вопрос, то мы должны понимать математику как науку, всегда сохраняющую гипотетический элемент в своей основе.

В «Principia Mathematica» в предисловии к разделу «Количество» Рассел и Уайтхед пишут: «Большие трудности этого раздела порождаются теоремами существования и проблемой типов. Эти трудности исчезают, если принимается аксиома бесконечности, хотя кажется неприемлемым строить теорию, которая, может быть, на две трети зависит от допущения, что число объектов во Вселенной не является конечным. Мы должны приучить себя не прибегать к этому допущению, кроме тех случаев, где оно является крайне необходимым. Когда аксиома бесконечности действительно необходима, она помещается нами в класс гипотез, так что все утверждения теории будут истинными, даже в том случае, если эта аксиома ложна»13. Рассел имеет в виду здесь то, что вместо теоремы Т, которая зависит от аксиомы бесконечности, мы можем принять утверждение Infin ах С Т, которое является истинным и доказуемым в рамках логических предпосылок.

Логицистская программа обоснования математики, таким образом, опровергла себя в процессе своего развития. Оказалось, что математика не сводится к логике и зависит от положений, надежность которых должна быть оправдана за пределами логики. Принимая этот факт, мы, однако, должны отклонить натуралистические и скептические выводы Рассела как недостаточно обоснованные. Очевидно, что Рассел исходит здесь из позитивистской дихотомии формального и содержательного, согласно которой утверждения, не относящиеся к логике, имеют эмпирическую и индуктивную основу. Эта, однако ложная посылка. Выходя за пределы логики, математика еще не выходит за пределы онтологии и отрицательный результат логицистского анализа не является достаточным для отказа математики от претензии на внеэмпирическое обоснование своих исходных принципов.