7. Операциональное определение «массы»

Вспомним, что Ньютон определил массу как «количество материи», содержащееся в определенном теле. Использование нами языка опыта обыденного здравого смысла предполагает, что мы очень хорошо понимаем значение утверждения, что в определенном объеме тела содержится определенное «количество материи». Это понятие кажется очень ясным, если мы предполагаем, что «материя» состоит из громадного количества одинаковых очень малых частиц (прежде называемых «атомами»), и поэтому под «количеством материи» в определенном объеме мы имеем в виду совокупность этих одинаковых частиц. Это понятие «массы» как числа «атомов» было знакомо греческим атомистам и эпикурейцам. Римский последователь учения Эпикура Лукреций писал в своей поэме «О природе вещей» следующее:

...почему мы видим, что многие вещи

Весом тяжелее других, по объему нисколько не меньших?

Ведь коль в клубке шерстяном содержится столько же тела,

Сколько й в слитке свинца, то и весить он столько же должен,

Ибо все книзу давить является признаком тела.

Наоборот: пустота по природе своей невесома.

Так что, коль что-нибудь легче другого того же размера,

Больше в себе пустоты заключает оно, очевидно.

Наоборот: если что тяжелее, то, стало быть, больше

Тела имеется в нём, а порожнего меньше гораздо.

Значит, бесспорно, к вещам примешано то, что стремился

Разумом чутким найти и что мы пустотой называем

Ясно, что определение «массы» как «количества материи» не описывает операций, посредством которых мы можем измерить, какое «количество движения» содержится в определенном движущемся теле. Определение Ньютона — не «операциональное определение»; оно относится к понятиям обыденного здравого смысла. В то же время было доказано, что законы Ньютона очень полезны в прикладной механике. Чтобы физический закон проверить на опыте, все его термины должны' быть заменены операциональными определениями. Поэтому Ньютон и все те, кто применял законы Ньютона, в действительности употребляли операциональное определение «массы», что мы и можем обнаружить, проследив, как законы Ньютона в действительности применялись.

Согласно определению силы, рассмотренному в предыдущем параграфе, существует «простая формула», которая приписывает силе, действующей на тело В, значение ft зависящее от внешних условий, в которых существует это тело. Мы можем записать второй закон Ньютона в видea=f/m. Поэтому, если мы имеем два разных тела с массами т\ и т2, то они получают разные ускорения при одних и тех же внешних обстоятельствах. При одних и тех же обстоятель- ствах «простая формула» приписывает силам одно и то же значение/. Иначе говоря, два тела с массами тх и т2 имеют разные ускорения «і и а2, когда получают один и тот же «толчок». Какой бы интенсивности этот «толчок» ни был или каково бы ни было значение силы/, легко видеть, что f=mxat ~m2a2- Если мы сформулируем отношение ускорений, то найдем, что оно не зависит от/. Для двух отдельных тел отношение их ускорений всегда будет одним и тем же; оно зависит не от внешних обстоятельства только от самих тел <3^/02 = тг\тх. Это уравнение становится однозначным определением массы, если мы выбираем произвольную единицу массы (скажем, приписываем кубическому сантиметру воды значение т — 1). Это значит, что произведение та зависит только от внешних обстоятельств, а не от самого тела. Согласно § 6, оно может, кроме того, быть выражено в виде «простой функции» этих внешних обстоятельств. Это и есть основное утверждение ньютоновской механики.

С чисто математической точки зрения та — f представляет собой математическую формулу, определение/. Мы можем вывести много математических следствий, если добавим формулы, выражающие а посредством увеличения скорости; но, чтобы приме- ; нить ее к наблюдаемым явлениям, мы должны дать , терминам операциональные определения. Операцио- ? нальное значение массы теперь обнаруживается ; в отношении ускорений. Если т определяется таким способом, то операциональное определение силы мо- : жет быть дано уравнением f—ma. Это—одно-; значное определение, потому что та зависит только от внешних обстоятельств тела и не зависит от его массы т. В этом смысле формула ma—f является, конечно, только «определением» силы, а не фактическим законом, который может быть проверен опытом. Однако если вместо / мы подставим простой : закон, рассмотренный в § 6, то отношение, выраженное в формуле та=/, где а обозначает ускорение в отношении инерциальной системы, будет уже не простым определением силы, а законом, относящимся і к физическим фактам.

Мы можем различать в механике два аспекта, соответствующие математической и физической геометрии (гл. 1). Под а в ньютоновском законе т Ха=/мы можем иметь в виду ускорение в отношении произвольно выбранной системы 5. Тогда, если положения и скорости даны относительно 5, мы можем на основании ньютоновского закона вычислить и движение по отношению к этой же системе S. Если, например, силы не действуют (/= 0), то мы можем вычислить, что масса т движется относительно 5 по прямой с постоянной скоростью. Это положение является условным так же, как условны и теоремы математической геометрии. Оно гласит: если ньютоновский закон та = / справедлив в отношении S и /= 0, то из этого следует, что движение относительно. S прямолинейно. Это положение истинно всегда, что бы в мире ни случилось; оно чисто логическое. Даже в том случае, если бы не существовало никакой системы S, относительно которой ньютоновские законы были бы справедливыми, и никакой ситуации, при которой сила/ исчезает, это положение все равно было бы истинным.

В случае учета второго аспекта рассматриваются конкретные физические системы S, являющиеся «инерциальными системами», и конкретные условия, при которых силы исчезают. Описание этих условий в терминах физических фактов дает ньютоновским законам «операциональное значение».

Вся система ньютоновской механики зависит от того экспериментального факта, что отношение ускорений двух тел, вызываемых одной и той же силой, не зависит от внешних условий этих тел; в частности, оно не зависит от скорости этих тел. В таком случае мы уверены, что если мы определим массу тела отношением а21аи то она будет постоянной. Из ньютоновского определения следует, что масса тела постоянна и не может зависеть от его скорости; это кажется очевидным из представления обыденного здравого смысла, которое вызывается выражением «количество материи». Если мы покупаем какое-то «количество» мяса или холста, то кажется очевидным, что это «количество» является чем-то внутренне присущим мясу или холсту и не может зависеть от скорости. На самом же деле такая «постоянная масса» может быть введена в механику только в том случае, если отношение аг/аі оказывается, согласно нашему опыту, независимым от скоростей участвующих в этом тел. Наш действительный опыт своими объектами имеет тела, движущиеся с малыми скоростями, что значит со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Этот обычный опыт показывает, что отношение а2/а\ действительно не зависит от скорости тел.

До XX века физики полагали, что а%{а\ действительно величина постоянная, какой бы ни была скорость тел. Это будет иметь место только в том случае, если мы допустим, что «истинное для малых скоростей истинно также и для больших скоростей». В XIX веке вера в ньютоновскую механику была настолько крепка, что практически никто не сомневался, что постоянство «массы» является универсальным законом природы. Люди не осознавали, что основой этой веры было или отождествление «массы» с «количеством материи», или опыт, что отношение ускорений я2/аь вызываемых одной и той же силой, для малых скоростей независимо от скоростей тел. В 1883 году австрийский физик и философ Эрнст Мах опубликовал книгу «Механика», оказавшуюся во многих отношениях важнейшим этапом в нашем понимании законов движения. Мах дал критический анализ ньютоновской механики и направил внимание ученых на то, что «постоянство массы», если употреблять операциональное определение тгМі = Ді/ог, есть опытный факт, а не «философская истина», которая может быть получена из интеллигибельных принципов. Существует возможность того, что эксперименты покажут изменение массы под влиянием внешних обстоятельств. И действительно, в конце XIX века Дж. Томсон, исходя из теории электромагнитного поля Максвелла, обнаружил, что частицы массы ведут себя как частицы с электрическими зарядами.

В XX веке движение быстрых заряженных электричеством частиц систематически исследовалось, например, в циклотроне. Если электростатические силы действуют в направлении действительной скорости, то частицы с большой скоростью (то есть со скоростью, сравнимой со скоростью света) получают ускорения, заметно меньшие, чем ускорения частиц, движущихся с малыми по сравнению со скоростью света скоростями, в том же самом электростатическом поле. Это значит, что мы не можем с помощью ffa определить постоянную массу т, которая может быть приписана телу независимо от его скорости. Уравнение та=/, где т — постоянная, не имеет физической интерпретации, которая описывала бы действительное движение частиц с большой скоростью. Изменения в «аксиомах» или «формальных системах», применяющихся к движению таких частиц, более тщательно и подробно будут рассмотрены в гл. 5, где разбирается вопрос об относительности.

В данной же главе эти изменения служат весьма удачным примером, с помощью которого мы можем иллюстрировать логическую структуру науки вообще. Если бы не были сделаны новые наблюдения над движением частиц с большими скоростями, у нас был бы соблазн сказать, что ньютоновские законы имеют «универсальную значимость». Это значило бы, что ньютоновские уравнения в качестве «формальной системы» (ma=f, где т — постоянная) могли бы применяться ко всем движениям, которые имеют и

будут иметь место во вселенной. Благодаря этой убе- ; жденности в их «универсальной справедливости» могли высказываться такие утверждения, как утвер- : ждение, что эти законы суть «действительные законы ; движения всей вселенной». Теперь мы знаем, что эта ; «формальная система» является удобным описанием , движения только таких частиц, которые движутся с малыми скоростями. Однако даже в наше время нет препятствия к построению ньютоновской «формальной системы» как разработанной теории движения. Таким образом, мы получаем систему «Аналити- ; ческой динамики», которая содержит утверждения ; вроде следующего: если мы знаем первоначальное по- ; ложение движения масс в отношении инерциальной j системы S и если ньютоновские законы справедливы : для всех скоростей относительно S, то мы можем вы- [ числить положение движения относительно 5 в лю- 1 бое время t, используя «формальную систему», осно- i ванную на ньютоновских законах. Это условное утверждение остается истинным даже и после того, как мы узнали, что ньютоновские законы неприменимы к ча- ; стицам с большими скоростями. Если же, однако, мы будем исследовать проблему физической интерпретации, то увидим, что наше условное утверждение может иметь правильную физическую интерпретацию, только в том случае, если мы допустим, что скорость частиц мала по сравнению со скоростью света. Если так дело обстоит во всех движениях, то мы можем применять ньютоновские законы, но даже и для самых больших скоростей «условное утверждение остается истинным», потому что оно является чисто математическим или логическим утверждением.