Отношение между моделью и объектом в системах, принадлежащих к различным формам движения материи

При математическом моделировании основой соотношения модельчнатура является такое обобщение теории подобия, которое учитывает качественную разнородность модели и объекта, принадлежность их к разным формам движения материи. Такое обобщение принимает форму более абстрактной теории изоморфизма систем.

Понятие изоморфизма и более общее понятие гомоморфизма можно рассматривать как уточненные, формализованные виды аналогий.179 В отличие от логического аргумента по аналогии и тем более от смутных и невыясненных аналогий} аналогия, на которой основывается использование моделей в науке, представляет собой, как уже было замечено, некоторое отношение между системами, а именно отношение сходства, но не тождества.

Для аналогии как отношения сходства характерны различие сопоставляемых элементов и одинаковость (тождество) отношений, т. е. законов связи между элементами двух систем. Изоморфизм представляет собой взаимно однозначное (двустороннее) соответствие таких систем, гомоморфизм — соответствие лишь в одну сторону.180

С отношением аналогии мы встречаемся при математическом моделировании. Здесь отношение между моделью и объектом, позволяющее относить результаты экспериментального исследования модели к соответствующим свойствам образца и, наоборот, создавать электрические модели для воспроизведения соответствующих свойств образца, является аналогией и на уровне структур, и оно основано на тождестве математической формы различных законов природы.

Поэтому метод физических аналогий, опирающийся на изоморфизм систем, представляет собой обобщение теории подобия на случаи отношений между системами, каждая из которых относится к различным формам движения материи. Если в теории подобия инварианты, или критерии подобия, модели и образца, выводятся на основании действия одних и тех же законов природы (физических законов), то учение об аналогии, или теория изоморфизма физических процессов, выводит критерии подобия, опираясь на факт тождественности математической формы у разных законов. Здесь уже рассматриваются не только разные в пре- делах одной формы движения, но и разные физические законы, действующие в разных областях природы.

В истории физики подобные физические аналогии, состоящие в совпадении, сходстве математических законов, часто использовались в эвристических целях. Так, еще Гамильтон в 1834 г. обратил внимание на то, что принцип кратчайшего пути светового луча (принцип Ферма) и принцип наименьшего действия в механике (принцип Мопертюи) сходны между собой и выражаются в одинаковой математической форме, а именно в

Г ds

— = min (и — фазовая скорость света); (1)

А

В

vds = min (и — скорость движения материальной точки). (2)

А

Сравнение этих формул показывает, что, несмотря на различие оптических и механических явлений, структура их законов одинакова, так как механическая скорость в теореме Мопертюи играет ту же роль, что обратная величина волновой скорости в теореме Ферма.

Математическое моделирование также основано на подобных аналогиях.

Наиболее распространенным и развитым в силу своих широких практических возможностей, гибкости, экономичности и удобства видом математического моделирования является электрическое моделирование, в частности электромоделирование механических систем и процессов. В последнем случае средством модельного эксперимента является электрическая модель механической системы, характеризующаяся полной структурной аналогией (рис. 1).

Каждый элемент механической системы — упругости (пружина К), накопителя энергии (масса М), рассеяния энергии (демпфер D) — представлен соответствующим элементом электрической модели — индуктивности (катушка L), емкости (конденсатор С), сопротивления (.R). Данный тип аналогии является примером первой системы электроаналогии. Вообще же существует три системы электромеханических аналогий.181

Первую систему предложил Максвелл.182 В этой системе заряд соответствует перемещению, сила тока — скорости, напряжение — механической силе. Позже была введена вторая система электромеханических аналогий, в которой элементы сопоставляются иначе, а именно сила тока соответствует механической силе, электродвижущая сила — скорости, магнитный поток — перемещению. В последнее время была открыта третья система, в которой все искомые переменные механической системы можно представлять только одной физической величиной — напряжением в определенных точках электрических цепей. В этой системе напряжение в одной точке цепи соответствует перемеще- м

m\D

Рис. 1. Электрическая модель (Ъ) механической системы (а), основанная на первой системе электроаналогий.

нию, напряжение в другой точке цепи — скорости, напряжение в третьей точке цепи — механической силе.

Сводя все три аналогии вместе, получаем таблицу, в которой сопоставлены элементы систем. Механическая Системы электромеханических аналогий система I и ш Перемещение. Механическая сила.

Механическая скорость. Заряд.

Напряжение. Сила тока. Магнитный поток. Сила тока.

Напряжение. Напряжение I в соответствующих точках. Трения.

Упругости.

Массы.

Сопротивления.

Емкости.

Индуктивности.

Сопротивления. Индуктивности. Емкости.

Элементы

Емкость. Примечательно, что во всех четырех системах элементы, которые соответствуют друг другу, не только различной физической природы, не только, следовательно, различны по качеству, но могут и сопоставляться по-разному: в одном случае перемещению соответствует электрический ток, в другом — магнитный поток и т. д. Конечно, эта относительная произвольность сопоставления ограничена объективными признаками, обусловливаю- щимії наличие сходства между сопоставляемыми элементами в том или ином отношении.

Эта тождественность математической формы уравнений связана с аналогичностью законов движения разных областей природы.

Так, в механическом движении уравнение для отклонения пружины показывает, что. сумма всех внешних сил, действующих на массу, равна силе инерции данной массы (при условии, что тело в начальный момент находилось в покое), т. е.

M% + D% + Kz = F{t). (3)

Важно подчеркнуть, что физической основой этого уравнения являются закон Ньютона и принцип Д'Аламбера.

В электрических системах уравнение для участков электрической цепи, составленной из последовательно соединенных элементов (рис. 1, Ъ) R, L, С, утверждает, что сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна нулю, т. е.

+ «>

где q(t) Физической основой этого уравнения является

о

закон Кирхгофа.

Эти уравнения формально подобны и представляют собой основу первой системы электромеханической аналогии.

Уже отсюда видно, что объективной основой данной системы аналогий является тождество математической формы законов механического движения и законов электричества.

Вторая система электроаналогий основана также на тождестве математической формы законов этих форм движения. Механическую систему можно промоделировать в электрической иным образом, если электрическую цепь составить из параллельно включенных Л, L,'C (рис. 2). Тогда с механическим перемещением будет сопоставлен не заряд (как в первой системе электроаналогий), а величина магнитного потока ср, механической силе — сила тока, упругости — индуктивность и массе — емкость. Уравнение для суммы токов в узловой точке, полученное согласно закону Кирхгофа для тока, будет иметь вид

rd2<р ,1 dtp , <р _ .

DW-R IF ' 2Г+ R = LW> (5)

t

Где cp = [edt. Это уравнение также формально тождественно Ъ

уравнению (3), как и уравнение (4). Поэтому механическая система, описанная уравнением (3), может быть также исследована на модели, описываемой уравнением (5).

Из сказанного ясно, что тождественность математического формализма в подобных случаях является не просто удобным способом, который может использоваться или не использоваться в зависимости от желания, а выражением объективных отношений, существующих между законами природы. У. Карплюс

X

в своем изложении метода аналогии совершенно правильно, в духе материалистической гносеологии отмечает: «Источником аналогии является тот факт, что законы Кирхгофа, используемые для уравнений (4) и (5), являются проявлением основных принципов, лежащих в ос- Рис. 2. Электрическая мо- нове большинства разделов физи- дель механической системы, ки, — закона сохранения энергии и основанная на второй системе закона непрерывности».183

электроаналогий. Тождественность математической

формы законов природы, выражающих структуру систем, принадлежащих к качественно различным областям явлений, давно привлекала к себе внимание теоретиков естествознания. Так, Максвелл, обсуждая метод физических аналогий, обращал серьезное внимание на «сходство в математической форме явлений двух различных областей природы, которое послужило, например, основой физической теории света». Он подчеркивал в другом случае, что сопоставляемые «теории примут совершенно различный вид, если мы включим в круг наших исследовании другие соображения и дополнительные факты, но математическое сходство некоторых законов остается в силе и с успехом может быть использовано в полезных математических приемах».184

Таким образом, в системах, которые аналогичны друг другу, имеются: 1) взаимно однозначное соответствие элементов, входящих в одну систему, элементам, входящим в другую (см. рис. 1), при их качественной разнородности; 2) взаимно однозначное соответствие отношений между элементами одной системы отношениям между элементами другой системы, что на- ходит свое отчетливое выражение в тождественности математической формы. Но это не что иное, как условия изоморфизма. Следовательно, модели, основанные на электромеханических аналогиях, представляют собой электрические модели, изоморфные механическим системам.

Основой изоморфизма является тождество математической формы законов разных областей природы. Это тождество математической формы некоторых механических и электрических, механических и термодинамических, электрических и тепловых и т. д. законов не является случайностью и не представляет собой результата творческой деятельности интеллекта (к чему сводится идеалистическая точка зрения как в гегельянской, кантианской, так и в позитивистских версиях), а есть выражение того объективного факта, что в природе существуют закономерности, выражающие общий характер некоторых форм движения. В этих законах находят свое выражение те особенности движения, которые присущи ему независимо от конкретного вида и одинаково характеризуют химические, электрические, механические, тепловые и некоторые другие процессы.

Такие общие черты качественно различных форм движения имеют закономерный характер и отражаются в математической форме, в частности в форме линейных уравнений второго порядка, как в упомянутых случаях, или в форме других уравнений математической физики.

«Лишь дифференциальное исчисление, — отмечает Энгельс, — дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение».185 Математическая форма уравнений представляет отображение этих общих законов, их своеобразную знаковую модель, которая изоморфна всем конкретным видам движения в силу одинаковости этих объективно существующих законов движения, при условии соответствующей интерпретации законов.

Таким образом, объективной основой моделирования, т. е. проведения модельного эксперимента и отнесения результатов эксперимента на модели к соответствующим объектам иной физической природы, нежели модель, является наличие общих законов движения определенного типа.

Теоретической основой моделирования в этой области является обобщение теории подобия до теории физических аналогий (логически уточненной в понятиях изоморфизма и гомоморфизма), которая использует аппарат математической физики, подобно тому как теория подобия использовала уравнения классической механики..