5. Модели - аналогии физических явлений и техническихсистем

Рассматриваемые в настоящем разделе модели итеративного научения, предложенные разными авторами, опираются на аналогии физических явлений и принципов функционирования технических систем. Многие из используемых аналогий достаточно условны и адекватность допущений действительным закономерностям, имеющим место в биосистемах, может вызывать оправданные возражения.
Модель 5.1.

(С. Дейч [35]).
О. В некоторых моделях нервной системы мозг рассматривается как техническая система распознавания образов, параметры которой зависят от электрических характеристик нервных волокон.
Г. Отросток нейрона - длинная RC-цепочка (RC-линия, со-стоящая из конденсатора и резистора).
Ф. Если Uin - напряжение на входе RC-цепочки, Uout(t) - напряжение на выходе, то связь между ними, в силу законов Кирхгофа, описывается дифференциальным уравнением: C dUout (t) = Um - Uout (t)
dt R '
где C - емкость конденсатора, а R - величина сопротивления.
В. Выходное напряжение изменяется экспоненциально. Так как временные характеристики процессов передачи и распространения сигналов в нервной системе определяются экспоненциаль-ными передаточными функциями с характерным временем t = R C то g = 1 /1 будет определять скорость переходных (адаптационных) процессов в системе, то есть описываться экспоненциальной зависимостью.
А. Различение амплитуды сигнала (стимула) в рассматриваемой модели описывается законом, практически совпадающим с законом Вебера-Фехнера [31, 35]. Выходное напряжение схемы - основная характеристика модели - удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (см. четвертый раздел). •
Модель 5.2.
О(Г). По аналогии с механизмами радиоактивного распада в физике, предположим, что рассогласование обучаемой системы определяется рассогласованием элементов, каждый из которых может иметь либо некоторое начальное рассогласование, либо некоторое конечное рассогласование. Рассогласование системы- функция числа элементов, имеющих ненулевое рассогласование, причем уменьшение рассогласования, происходящее для каждого элемента скачкообразно, - вероятностный процесс, характеризуемый постоянной (не зависящей от времени и числа элементов) вероятностью g "зануления" рассогласования элемента в единицу времени.
Ф. Число элементов N(t), имеющих в момент времени t ненулевое рассогласование, удовлетворяет уравнению N(t + At) = N(t) - gN(t) At.
Переходя к пределу по At, получим дифференциальное уравнение
dN (t)
= - g N(t). dt
В. Решение уравнения (5.1) имеет вид
N(t) = N0 e- gt,
где N0 - число элементов в системе (в нулевой момент времени все элементы имели максимальное (начальное) рассогласование).
А. Постоянная g, характеризующая период полураспада, характеризует скорость научения. Чем больше вероятность уменьшения рассогласования элемента в единицу времени, тем выше скорость научения.
Отметим, что предположение об одинаковости для всех элементов и стационарности вероятности "распада" является существенным.
Важным представляется также то, что приведенному выше уравнению для N(t) удовлетворяют не только механизмы радиоактивного распада, но и процессы бактериального роста, фармакоки- нетические процессы, большинство кинетических схем химических реакций (в том числе - закон действующих масс) и др. Зависимость от времени макроскопических характеристик во всех этих случаях оказывается экспоненциальной просто потому, что
поведение любого элемента носит вероятностный характер, причем статистические характеристики процессов (распада, роста, вступления в реакцию и т.д.) не зависят от времени и предыстории системы. Это утверждение о стационарности, лежащее в основе описания и объяснения упомянутого класса процессов, является согласованным с экспериментальными данными предположением. •
Модель 5.3.
О. Каждый элемент обучаемой системы имеет собственный регулятор, стремящийся уменьшить свое рассогласование. Рассогласование системы в целом - монотонная функция рассогласова-ний элементов.
Г. Каждый регулятор характеризуется постоянной относительной ошибкой в (требовать постоянства абсолютной ошибки представляется нелогичным, так как регулятор должен быть универсальным [93]). На n-ом шаге регулятор случайным образом переводит элемент из состояния xn-1 в состояние xn, равномерно распределенное в 8 = 8(xn-l)-окрестности нулевого рассогласования.
Ф(В, А). При достаточно большом n кривая научения - среднее рассогласование элементов - убывающая экспоненциальная функция. Вид КН обусловлен постоянством относительной ошибки регулятора и предположением о вероятностных распределениях (ср.

с изменением информации при измерении величин с погрешностью [21, 22]). •
Модель 5.4.
О(Г, Ф, В). Обучаемая система представляет собой набор регуляторов первого порядка (то есть апериодических звеньев первого порядка, осуществляющих регулирование по величине переменной и скорости ее изменения), аналогичных используемым в автоматическом регулировании. Передаточная функция (реакция на импульсное входное воздействие) каждого элемента:
h(t) = 1 - exp (- g t).
А. Интересно отметить, что апериодическое звено второго порядка (осуществляющее регулирование по значению переменной и первым двум ее производным), которое может рассматриваться как
последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка, имеет логистическую передаточную функцию. В рамках этой модели логистические кривые научения можно рассматривать как КН иерархической системы, состоящей из двух подсистем, результаты итеративного научения каждой из которых описывается экспоненциальной кривой. •
Модель 5.5. (Ю.Г. Антомонов [10]).
О. Исследуются вероятности нахождения системы в определенных состояниях. Пусть у обучаемой системы имеются два возможных структурных состояния s1 и s2. Обозначим вероятности нахождения системы в этих состояниях p = Prob {s1} и
dp(t)
q = Prob {s2}; q = 1 -p; p' = .
dt
Г. По аналогии с механическими системами предположим, что система описывается двумя функциями времени, одну из которых условно назовем уровнем организации ("потенциалом") системы:
V(t) = a p2(t),
а вторую - " кинетической энергией" системы:
T(t) = J(p')dt.
Отметим, что V(t) и T(t) соответствуют потенциальной и кинетической энергии механической системы, фазовой переменной которой является p(t). Функция K = T- V - "полная энергия системы". Далее введем следующее предположение: "Для того, чтобы динамический процесс изменения уровня организации системы, в связи с внутренними причинами или действиями среды, был оптимальным, он должен, по-видимому, подчиняться принципу, аналогичному принципу наименьшего действия" [10].
Ф. Подставляя (5.3) и (5.4) в уравнение Лагранжа и решая его, получим
p(t) = 1 - e - gt, где
g = a / Ь.
В. "Оптимальность живых систем заключается в экспоненциальных законах изменения вероятностей ..." [10].
А. Следует признать, что на сегодняшний день описанная выше модель является одной из наиболее изящных и красивых (если эти термины могут относиться к математическим моделям).
Нисколько не умаляя достоинств модели и ее значения, попытаемся восстановить ход рассуждений ее автора.
Во-первых, известно из экспериментов, что вероятности в процессе ИН изменяются в большинстве случаев по экспоненциальному закону. Во-вторых, должны существовать общие законы функционирования живых систем. Так как принцип наименьшего действия обладает достаточной общностью (по крайней мере, для механических систем), перенесем его и на живые системы.
А дальше все достаточно просто - записываем соответствующие уравнения и исследуем какова должна быть структура "потенциала" и "кинетической энергии", чтобы решение удовлетворяло (5.5). Оказывается, что единственная конструкция, приводящая к требуемому результату - (5.3) и (5.4). Следует, правда, при этом отметить, что выбор начальных условий и (5.3)-(5.4) не тривиален. Более того, затруднительны и содержательные интерпретации (5.6) как скорости научения.
На этой модели очень хорошо демонстрируется одновременное применение и прямого метода построения моделей ИН (когда вводятся предположения и из них делается вывод, совпадающий с экспериментальными данными), и обратного (в котором ищутся те предположения и гипотезы о механизмах функционирования исследуемой системы, приводящие к требуемому результату). •
Таким образом, рассмотренные выше модели итеративного научения, построенные по аналогии с принципами и законами функционирования физических и технических систем, используют "обобщения" ряда физических законов. Как правило, вводится предположение, что законы (в большинстве случаев - законы сохранения), сформулированные для определенного класса систем живой и неживой природы (и справедливые для описания обучаемых систем на определенном микроуровне рассмотрения), остаются справедливыми и для "макроскопического" описания этих систем. Справедливость этого предположения в большинстве случаев, к сожалению, пока не подкрепляется экспериментальным под-тверждением.

<< | >>

↑

Источник: Новиков Д. А.. Закономерности итеративного научения. М.: Институт проблем управления РАН,1998. - 77 с.. 1998

Еще по теме 5. Модели - аналогии физических явлений и техническихсистем: