Оценка программы Гильберта

Выдающееся значение этих теорем следует видеть в том, что они объясняют принципиальные причины неудачи программы Гильберта и любой другой программы, предполагающей формализации элементарной арифметики. Теорема Гёделя о неполноте в лапидарной формулировке говорит о том, что любая формализованная математическая система, включающая арифметику, либо противоречива, либо неполна, т. е. содержит некоторую недоказуемую, но истинную формулу. Непосредственные следствия этой теоремы хотя и касаются прежде всего формальных систем, включающих арифметику, но имеют также и философское значение.

Во-первых, согласно этой теореме нельзя сконструировать формальную систему, в которой множество истинных формул в точности совпадало бы с множеством доказуемых формул. Множество доказуемых формул всегда будет собственным подмножеством множества истинных формул. Значит, никакая аксиоматизация (система аксиом) не способна подчинить все истинные утверждения данной формальной системы. Ни одна аксиоматизация не мо- жет считаться, следовательно, единственной и исчерпывающей. Всегда можно сконструировать более полную. И этот процесс никогда не может быть завершен, по крайней мере теоретически. Результаты Гёделя прямо подтверждают справедливость допущения потенциальной бесконечности и конструктивности процесса математического познания.

Аксиоматизация арифметики не охватывает все истины арифметики. Значит, аксиоматическое доказательство более ограниченно, чем обычное математическое доказательство. Требования строгости и надежности математического доказательства сужают творческий потенциал работающих математиков.

Во-вторых, ни одно высказывание, выражающее непротиворечивость арифметики, не может быть доказано средствами самой арифметики. «Ценой больших усилий, приложенных Гильбертом и представителями его школы для выполнения его программы, им удалось получить строго финитными методами непротиворечивость весьма широкой подсистемы арифметики; подсистема эта имеет лишь тот недостаток, что принцип индукции формулируется в ней в ослабленной форме, что препятствует применению его к квалифицированным предложениям. Следствие из теоремы Гёделя показывает, что такой частичный неуспех гильбертовской школы объясняется отнюдь не недостатком изобретательности ее представителей; напротив, мы знаем теперь, что они продвинулись в этом направлении настолько далеко, насколько это вообще было возможно»119.

Результаты Гёделя не исключают метаматематического доказательства непротиворечивости арифметики. Они только исключают возможность такого доказательства средствами самой арифметики. Это затрудняет программу финитного обоснования математики Гильберта, но не доказывает ее принципиальную неосуществимость. Помимо прочего, обсуждаемое следствие говорит также о том, что применяемая в доказательствах аналитика должна быть в принципе более богатой по своим синтаксическим и семантическим свойствам, чем синтаксис и семантика исследуемой системы.

Результаты Гёделя не были единственными, которые объясняли причины ограниченных возможностей формализации. Среди них особый интерес представляет теорема А. Тарского об истине: множество всех истинных высказываний непротиворечивой формализованной системы, включающей элементарную арифметику, неопределимо в этой системе120. Доказательство этой теоремы, как признается Тарский, обязано во многом теоремам о неполноте Гёделя.

В-третьих, существование неразрешимых высказываний в формализованной арифметике поднимает общий вопрос о неразрешимости как фундаментальной особенности всех формализованных систем. В 1936 г. А. Чёрч доказал, что элементарная арифметика неразрешима121. Значит, и всякая теория, включающая арифметику, также неразрешима. Интерес к проблеме разрешимости не ослабевает и сейчас, когда математика постепенно трансформируется в науку о вычислительном эксперименте. Доказательство неразрешимости той или иной проблемы экономит время и ресурсы разработчиков различных компьютерных программ. В более широком контексте существование неразрешимых теорий означает запрет «природы» на возможность конструирования универсального и абсолютно эффективного метода решения какого-либо одного класса задач. Но если это невозможно даже для одного класса, то это тем более невозможно для задач произвольного класса. То, что абсолютный метод, как и вечный двигатель, находятся под запретом, не должно внушать пессимизм и тревогу. Наоборот, неразрешимость как принципиальная черта развивающейся математики порождает, пока существует человечество, вполне обоснованный оптимизм в ее непрерывный прогресс.

Теоремы Гёделя также значительно повлияли на начавшийся процесс изменения приоритетов символической логики в последней четверти прошлого столетия.

Современная логика создавалась под влиянием идей Дж. Буля о логике как алгебре законов мысли122 и логицистских идей Лейбница и Фреге. Гильберт с энтузиазмом воспринял идею Буля о логике как исследовании законов мысли. Как и Лейбниц, Гильберт считал, что логика выражает структуру нашего мышления; подчиняется строго определенным правилам; каждый знак формальной теории выражает некоторый объект нашей мысли таким образом, что между знаками и мыслями существует точное соответствие, и операции с мыслями однозначно могут быть заменены операциями со знаками. Но действительно ли законы символической логики являются законами нашего мышления? Можно ли утверждать с полной уверенностью, что математическое доказательство есть строго дедуктивная процедура — вывод теорем из аксиом? Что формализация есть гарантия не только от ошибок, но и творческих решений проблем? Ответ, очевидно, отрицательный. Ни одна из рассмотренных программ обоснования математики, заботясь исключительно о надежности и строгости математического рассуждения, ничего не предложила в качестве обоснования собственно творческой составляющей математического мышления.

После Гёделя все большее число математиков и логиков склоняется к тому, что «творческие и интуитивные аспекты математической работы не поддаются логической формализации»123, что математика — это не деятельность идеального, никогда не совершающего ошибок математика, а открытая самонастраивающаяся и самокорректирующаяся система, нуждающаяся в непрерывном информационном взаимодействии с внешней средой со всеми связанными с этим рисками и выгодами. Идеал такой математики — не формализация всех своих теорий, а создание некоторой эвристической недедуктивной процедуры решения проблем. Логика математики в таком понимании — логика не только обоснования, но и изобретения гипотез. Но такая логика — пока что дело будущего.