1. Современная прикладная алгебр

3. . Несмотря на свое фундаментальное значение, книга ван-дер-Вардена (как и большинство ее продолжений) пропускает именно те разделы алгебры, которые представляются наиболее важными для психологии. Многие наблюдения заставляют предполагать, что существенные аспекты человеческой психологии и поведения имеют структуру дискретных математических систем, стоящих ближе всего к булевой алгебре, системам отношений и сетям (графам).
В частности, экспериментальная нейрофизиология утверждает, что значительная часть человеческого мышления протекает в сложной сети нитеобразных нейронов, многие из которых передают нервные импульсы по двоичному принципу «все или ничего», напоминающему булеву алгебру (см. ниже § 3—5). Странно, что ван-дер-Варден и его последователи совершенно игнорировали булеву алгебру, алгебру отношений и теорию графов! Эти разделы важны и для вычислительной техники. Действительно, интерес к цифровым вычислительным машинам стимулировал развитие быстро растущей новой ветви прикладной математики, включающей не только элементы (чистой) современной алгебры, как та определена выше, но и символическую логику, математическую лингвистику и теорию машин Тьюринга и конечных автоматов (или «конечных машин»). Центральной проблемой здесь является (цифровая) вычислимость. Думаю, что эту ветвь можно было бы назвать «современной прикладной алгеброй». Подобно всякой истинно прикладной математике, современная прикладная алгебра отбрасывает модели, не имеющие важных соответствий в реальном мире вокруг нас, и настойчиво заботится о смысле своих слов и символов. Таким образом, она использует обратную связь с внешним миром как критерий правильности и источник новых идей; она не довольствуется одной интроспекцией и внутренней логической непротиворечивостью. Кроме того, если «чистая» математика прежде всего занимается дедукциями, естественно вытекающими из двух основных понятий: множества и функции, то современная прикладная алгебра опирается на три основных понятия: множества, функции и вычислимости. Связи современной прикладной алгебры с психологией и будут главным предметом моего обзора в части А. 4. Символическая логика. Современная прикладная алгебра имеет корни в (чистой) современной алгебре и в символической логике. Последняя, в свою очередь, возникла из интроспективной психологии. Например, Буль через 150 лет после Лейбница начал свой классический трактат «Исследование законов мысли» таким объяснением «характера и цели этого сочинения»: Цель предлагаемого трактата — исследовать важнейшие законы тех действий ума, посредством которых совершается рассуждение; дать им выражение в символическом языке исчисления и на этом основании утвердить науку логики и развить ее метод; сделать затем этот метод основою общего метода для приложения математического учения о вероятностях; и, наконец, собрать из разных элементов истины, обнаруженных в ходе этих изысканий, некоторые вероятные указания относительно природы и устройства человеческого ума. Эта цитата отчетливо говорит о том, что Буль относил свой труд к прикладной математике и специально к математической психологии. Действительно, Буль разработал алгебру логики (и вероятности), описывающую эффект комбинирования свойств и высказываний относительно связок «и», «или», «не» и «влечет» (т. е. «если .. .то»). Эта булева алгебра подчиняется точно тем же законам, что и «алгебра множеств» с операциями пересечения, объединения и дополнения. Например, пусть PAQ обозначает „Р и Q“, a PVQ обозначает „Р или Q“. Буль показал, что операции Д и \/ обладают многими алгебраическими свойствами, подобными свойствам обыкновенного алгебраического умножения и сложения. Сюда входят следующие идемпотентные, коммутативные и ассоциативные законы «алгебры логики»: РДР^Р, рур^р; (1) PAQ=QAP, PVQ=QVp; (2) PMQAR)^(PAQ)AR, ^V(QV?) = = (PVQ)V^- (3) Справедлив также дистрибутивный закон РД Л (Q V Р) — (Р Л Q) V (Р Л Р)> аналогичный правилу P(Q4-P)=PQ + PP, и двойственный дистрибутивный закон Р V (Q Л Р) — (Р V Q) Л (Р V Р)> арифметический аналог которого Р -J— = (Р —(— Q) (P-f- -f-7?) неверен. Наконец, обозначив „не-Р“ через Р\ получим еще такие законы, как (Р')'=Р, (РА f \ QY ““ Рг \/ Q* и (Р\/ QY =Р' AQ'- В современной алгебре любая алгебраическая система, удовлетворяющая этим и некоторым другим (финитным) законам логики, которые открыли Буль и Лейбниц, называется булевой алгеброй [10, гл. 5]. Применяя методы символической алгебры к дедуктивной логике, Буль получил наглядное свидетельство ее силы. Так, он показал, что из п данных высказываний повторным употреблением связок «и», «или» и «не» можно построить ровно 22* логически неэквивалентных высказываний. Представим себе, как трудно было бы доказать это при помощи аристотелевых силлогизмов! Математики при доказательстве теорем давно оперировали высказываниями по законам булевой алгебры, подобно тому как вавилоняне оперировали словесными описаниями неизвестных величинах задолго до изобретения арабами символической алгебры.
Главной заслугой Буля была формализация этих законов. По моему мнению, формализация Булем «законов мысли» составила выдающееся завоевание математической психологии, и я удивлен, что его труды, по-видимому, столь мало изучаются психологами. Аксиоматические исследования булевой алгебры логики позднейшими математическими логиками оказали сильное влияние на развитие современной алгебры (другое значительное влияние шло из алгебраической теории чисел). Для психолога булева алгебра логики еще важнее как первый крупный шаг в развитии символической логики, т. е. на пути к механизации математического мышления, о которой мечтали Лейбниц и Декарт. Второй крупный шаг в этом направлении был сделан Джузеппе Пеано около 1889 г. [23, с. 83— 97]. Заслуга Пеано состояла в открытии того, что «вся теория натуральных чисел выводима из трех первичных понятий и пяти первичных предложений, помимо тех, которые принадлежат чистой логике» [44, с. 5]. Пеано показал, как сделать это при помощи простого символического исчисления, требующего лишь каких-нибудь 15 неопределимых символов и воплощающего принцип математической индукции. В вольной перефразировке можно сказать, что «основной словарь логики и арифметики состоит всего из 15 слов». Идеи Пеано были быстро популяризированы и заострены Бертрандом Расселом, который в 1903 г. писал с энтузиазмом [44, с. 5] : Тот факт, что вся математика есть символическая логика, является одним из величайших открытий нашего времени, и коль скоро этот факт установлен, дальнейшее исследование принципов математики состоит в анализе самой символической логики. (Для установления этого факта надо лишь допустить, что «вся традиционная чистая математика выводима из натуральных чисел» [44, с. 4]—широко распространенное допущение, о котором я еще буду говорить в § 21.) Хотя работы Пеано произвели большое впечатление, ему не удалось формализировать математическое доказательство: он никогда не описал явно, какие именно операции над символическими выражениями могут рассматриваться как законные шаги в математических доказательствах; его правила вывода (законы доказательства) были смутны. Решающий шаг был сделан в десятилетии, предшествующем I мировой войне, Расселом и Уайтхедом. В своем монументальном трактате [55] они дали полное и строгое построение системы действительных чисел, используя только хорошо определенные правила действий над символами. После этого Рассел писал, торжествуя [44, с. 194]: Если найдутся такие, кто еще не допускает тождества логики и математики, то их можно попросить указать, в каком звене последовательных определений и дедукций из «Principia Mathematica» кончается логика и начинается математика. Громадное значение этого труда для психологии заключается в его основном тезисе: всякое математическое мышление, в принципе, может быть меха- 14 нически истолковано как манипуляция символами согласно предписанным правилам, некое подобие шахматной игры. Это утверждение я буду называть ниже тезисом Рассела. Великий математик Гильберт также думал, что (говоря словами фон-Неймана [9, с. 50—51]): ... классическая математика предполагает замкнутый в себе, идущий по неизменным, известным всем математикам правилам процесс, который состоит в последовательном построении из основных символов определенных комбинаций, именуемых «правильными» или «доказанными» ... Ее (классическую математику) следует рассматривать как комбинаторную игру с основными символами, и нам надлежит установить комбинаторно-финитным путем, к каким комбинациям основных символов ведут ее методы построения, называемые «доказательствами». Хотя Гильберт был очень большим математиком, его суждение отнюдь не обладало непогрешимостью. Фундаментальные теоремы Геделя о неполноте (1930 г.) делают ясным, что внутри формальной системы Уайтхеда и Рассела нельзя ни «доказать все предложения, которые мы считаем истинными», ни показать непротиворечивость системы [23, с. 595]6. Коротко, Гедель обнаружил, что основные цели Уайтхеда и Рассела, изложенные ими в [55, т. 1, с. 12—13], недостижимы с их же собственных позиций. Тезис Рассела, что символическая логика свела чистую математику к своего рода шахматной игре, был технически неверен. Конечно, не исключено, что удастся изобрести другую формальную систему, свободную от таких недостатков, и тем самым оправдать это воззрение, но, судя по всему, большинство математических логиков сегодня настроено па этот счет не очень оптимистически. В § 21—22 я буду критиковать с психологической точки зрения идею о том, что можно или должно формализировать всю математику.
<< | >>
Источник: Биркгофф Г.. Математика и психология. 1977

Еще по теме 1. Современная прикладная алгебр:

  1. 2. Современная алгебра
  2. 16. Алгебра и геометрия
  3. Прикладная антропология
  4. 3.4 Теоретическая и прикладная культурология
  5. 22. Прикладная математика
  6. Прикладное искусство
  7. 1.1. Что изучает социальная и прикладная экология
  8. Декоративно-прикладное искусство
  9. 1. Общее представление о прикладной психологии и психологической практике
  10. 3.5.1. Планирование размещения пакетов прикладных программ
  11. Часть 2. ПРИКЛАДНАЯ ЭКОЛОГИЯ
  12. ДЕКОРАТИВНО-ПРИКЛАДНОЕ ИСКУССТВО
  13. ПРИКЛАДНОЕ СОЦИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
  14. Раздел II ПРИКЛАДНАЯ ЭКОЛОГИЯ
  15. Традиционные виды декоративно- прикладного искусства
- Cоциальная психология - Возрастная психология - Гендерная психология - Детская психология общения - Детский аутизм - История психологии - Клиническая психология - Коммуникации и общение - Логопсихология - Матметоды и моделирование в психологии - Мотивации человека - Общая психология (теория) - Педагогическая психология - Популярная психология - Практическая психология - Психические процессы - Психокоррекция - Психологический тренинг - Психологическое консультирование - Психология в образовании - Психология лидерства - Психология личности - Психология менеджмента - Психология педагогической деятельности - Психология развития и возрастная психология - Психология стресса - Психология труда - Психология управления - Психосоматика - Психотерапия - Психофизиология - Самосовершенствование - Семейная психология - Социальная психология - Специальная психология - Экстремальная психология - Юридическая психология -