КОНЦЕПЦИЯ МНОГОМАСШТАБНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В течение последних десятилетий в материа­ловедении и других отраслях техники доминировали ме­тоды континуальной механики. Однако многочисленные экспериментальные наблюдения за поведением материа­лов, особенно в наномасштабе, показали, что ряд явле­ний не поддаются объяснению в рамках континуальной механики, среди них — статистическая природа хруп­кого разрушения, наличие поверхностной шероховато­сти, неоднородность пластической деформации и др.

По­этому возникает необходимость найти фундаментальное описание механических свойств материалов, исходя из свойств и строения атомов, молекулярных систем и на­нокластеров.

Необходимость многомасштабного моделирования обусловлена существенным различием между объемом не­обходимых расчетов и ограниченностью вычислительных ресурсов. Интеграция многомасштабного подхода в про­цесс проектирования наносистем, очевидно, будет идти по двум направлениям. Первое — применение разных мето­дик моделирования к различным элементам системы, на­пример квантовых методов — к реакциям, а молекуляр­ной механики— к структурам, несущим реакционные центры или ограничивающим их положение. Такой под­ход был реализован для моделирования соотношений структура-свойство-функнция в энзимах. Важной зада­чей является распространение этого принципа на смешан­ные модели других видов.

Второе направление применений многоуровневого мо­делирования — доработка конструкции. Для этого снача­ла с помощью недорогих и сравнительно неточных мето­дик выявляются перспективные системы, которые затем исследуют более точными и затратными методами. Такой подход повышает скорость оценки конструкции с учетом априори известных ограничений используемых моделей, что повышает производительность проектирования. Не­обходимо обеспечить постепенность интеграции этой ме­тодологии в технологии атомарной точности.

Применительно к наноразмерным системам использо­вание компьютерного моделирования имеет принципиаль­ные трудности. В указанных системах отсутствует даль­ний порядок, свойственный кристаллам и позволяющий уменьшить число независимых степеней свободы систе­мы. С другой стороны, ближний порядок, характерный для жидкостей, не позволяет определить все функциональ­ные свойства наноматериалов. Следует учитывать также технические трудности, связанные с моделированием на атомном уровне макрообъектов. Так, в кубе вещества со стороной 100 нм содержится примерно 107 атомов. Пря­мое моделирование таких систем в приближении моле­кулярной динамики и, тем более, квантовой механики затруднительно даже с использованием современной су­перкомпьютерной техники. В связи с этим возможно ис­пользование в моделировании иерархического многомас­штабного подхода, когда на каждом нижнем уровне вы­числяются параметры и переменные, необходимые для построения моделей верхнего уровня. Цели, достигаемые на верхнем уровне иерархического моделирования, тем самым определяют задачи моделирования на нижних уровнях. Таким образом, выстраивается согласованная иерархия моделей, направленная на «сквозное» модели­рование систем от уровня конструкции и поведения ко­нечного изделия вплоть до атомно-молекулярного уров­ня. Следует отметить, что прикладное и промышленное значение имеет именно такой «сквозной» подход, позво­ляющий снизить затраты на проведение многочисленных экспериментальных исследований.

Если начать рассмотрение методов по восходящему пути, то поведение нескольких десятков и сотен атомов достаточно точно моделируется с использованием методов квантовой механики, основанных на «первых принци­пах» , в которых моделирование связано с решением урав­нения Шрёдингера для атомных систем (включающих ядра и электроны) и использованием числовых алгорит­мов. Данные методы обеспечивают более точное описание поведения материалов на квантовом уровне, даже если раз­меры систем ограничены несколькими сотнями атомов. Современные методы моделирования конденсированных сред, кластеров, нанотрубок и др., основанные на «первых принципах», базируются на строгих математических за­конах теории функционала плотности.

Описание моделируемого объекта строится в рамках волновых функций и заданного гамильтониана системы (изолированный кластер). Целевыми функциями явля­ются электронный энергетический спектр, собственные функции и плотность состояний изолированного класте­ра при фиксированном положении ядер, а также потен­циальная энергия системы с учетом электронно-ядерных подсистем.

Для систем, содержащих от нескольких сотен до не­скольких тысяч атомов, используют методы сильной свя­зи или полуэмпирические методы, основанные на кванто­вой механике. Эффективность вычисления с использова­нием полуэмпирических методов основывается на том, что оператор Гамильтона квантовой системы может быть за­писан в параметрической форме.

Совместно с решением электронной структуры для многих атомных систем существует возможность модели­рования динамического развития как функции времени. Разработаны некоторые точные квантовые молекулярные динамические схемы, в которых межатомные силы вы­числяются на каждом временном отрезке с помощью кван­товомеханических вычислений в рамках приближения Борна-Оппенгеймера. Динамическое движение ионных позиций все еще подчиняется законам ньютоновской ме­ханики и описывается молекулярной динамикой. Наибо­лее широко известной и точной схемой является молеку­лярный динамический метод Кара-Парринелло, в кото­ром электронные состояния и атомные силы описывают­ся с помощью теории функционала плотности.

Однако методами «из первых принципов» не удается рассчитать сложные системы с большим количеством ато­мов, поскольку требуются огромные вычислительные мощности. Поэтому наиболее популярные методы моде­лирования в физике и химии — методы молекулярной динамики и Монте-Карло. Основной их проблемой явля­ется проблема выбора потенциала межатомного взаимо­действия. От этого во многом зависят результаты моде­лирования. Первоначально использовались простейшие потенциалы парного взаимодействия, а затем и много­частичные потенциалы, изложенные в разделе 5.2.

Для больших систем (десятки миллионов атомов) мо­гут быть применены классические методы МД, когда дви­жение атомов и молекул рассматривается в приближе­нии дифференциальных уравнений ньютоновской меха­ники. Использование принципов классической механики обосновано во всех случаях, кроме работы с очень легки­ми атомами и очень низкими температурами. Динамика комплексных систем в конденсированной фазе, таких как металлы и полупроводники, описывается с исполь­зованием явных или неявных функций многомассового поля сил, использующих типовые возможности метода внедренного атома (БАМ) для металлов и типовые возмож­ности методов Штиллингера-Вебера и Терсофа-Бренне- ра для полупроводников.

Типовые возможности метода Терсоффа-Бреннера параметризованы и предназначены специально для сис­тем на основе углерода, таких как углеродные нанотруб­ки. Однако до сих пор не разработано универсальной классической функции поля сил, которая с успехом при­менялась бы во всех случаях и со всеми материалами. Следовательно, необходимо быть осторожным, особенно там, где ожидаются реальные химические изменения с большим перемещением атомов (включая электронные перестановки).

Для описания больших по объему систем требуется проводить усреднение характеристик материала по объ­ему элемента следующего (мезоскопического) уровня и приписывать ему полученные усредненные характери­стики. Следует отметить, что на этом уровне существен­ны не только средние значения физических величин, но и их флуктуации. Учет флуктуаций является наиболее важным отличием мезофизики от макрофизики, для ко­торой достаточно ограничиться феноменологической ди­намикой средних значений величин. На мезоскопиче­ском уровне моделирования используются уравнения ба­ланса массы, энергии, импульса, момента импульса, энтропии, макроскопические уравнения Максвелла вме­сте со своими граничными условиями — совокупностью уравнений сплошной среды с источниками мелкомас­штабных и крупномасштабных флуктуаций. Для неко­торых систем возможно включать определение перемен­ных мезоскопического уровня в модель молекулярно­динамического уровня.

Результаты мезоскопической модели применяются для определения параметров метода конечных элементов, реа­лизующего модели сплошной среды и модели уровня кон­струкций, базирующегося на теории механизмов и машин и теории систем. Конструкционный уровень по мере раз­вития нанотехнологии спускается по иерархии масштабов вплоть до квантовых уровней, и, следовательно, элементы каждого уровня иерархии могут представлять собой не толь­ко те или иные физические системы или кластеры мате­риала, но быть конструкциями, т. е. логико-динамически­ми системами.

С точки зрения перспективы компьютерного модели­рования наносистем, проблемой является разница во вре­менных шкалах и шкалах длин в природе. Предпринима­ются попытки разработать главный «инструмент» модели­рования, который можно было использовать с различными шкалами длин. Подобные подходы осуществлялись на протяжении всего периода моделирования единичных сис­тем, но большинство работ проводилось для специфичных приложений и не подходило для остальных.

На другом крайнем уровне (макроскопическом) при­меняют традиционные методы численного решения задач континуальной механики, например известные методы конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), конечно-разностные методы (МКР) и др. В основе этих методов лежат основные уравнения механики сплош­ных сред, выражающие законы сохранения массы, импуль­са, момента импульса, энергии, дополненные соответствую­щими определяющими соотношениями, позволяющими конкретизировать физические особенности поведения раз­личных материалов и сред.

Концепция многомасштабного моделирования обыч­но интерпретируется как моделирование системы с ис­пользованием различных масштабов (размеров). И это от­части верно, тем не менее непосредственная реализация такого моделирования может быть очень разнообразной. Как правило, есть несколько подходов к реализации и представлению исследуемой системы, обычно они не свя­заны, т. е. каждый из возможных подходов осуществля­ется отдельно и независимо от других.

В зависимости от способа информационного обмена между уровнями моделирования методы многомасштаб­ного моделирования можно условно разделить на три груп­пы: иерархические, «совмещенные» и с многомасштабны­ми граничными условиями.

В рамках иерархических методов атомные свойства тела формулируются в континуальном масштабе таким образом, чтобы мелкие шкалы зависели от крупных шкал некоторым предсказуемым образом. Иерархический под­ход основан на предположении о гомогенном характере деформации. Поэтому он является более эффективным для пластичных однофазных систем.

Трудность возникает при моделировании дефектов атомных решеток и др. Например, метод конечных эле­ментов для атомных масштабов (АМКЭ) был использо­ван для многомасштабного моделирования. Он имеет точно такую же формальную структуру, как и контину­альный метод конечных элементов, и, таким образом, может быть плавно совмещен с атомарным уровнем.

АМКЭ использует обе, первую и вторую, производные энергии системы в вычислениях ее минимума.

Разработан способ моделирования с использованием гибридной многомасштабной вычислительной процеду­ры, идея которой состоит в сохранении полного молеку­лярного описания системы в тех областях, где это пред­ставляет наибольший интерес, и использовании модели «грубых зерен» в остальных областях системы. Это ста­ло возможным благодаря соединению молекулярной ди­намики с мезоскопическим описанием реальных жидко­стей, основывающимся на флуктуационной гидродина­мике Ландау.

В молекулярной физике важным является знание кон­формаций молекул, взаимного расположения всех атомов соседних молекул относительно друг друга (в том числе и атомов водорода). Такую детализацию исследуемых моле­кул обеспечивают полноатомные модели. В них рассчиты­ваются взаимодействия всех атомов, что позволяет доста­точно точно моделировать структуру, конформационную динамику и взаимное расположение молекул. Современ­ные задачи, решаемые с помощью компьютерного моде­лирования, требуют исследования систем, состоящих из сотен тысяч атомов. Такое количество взаимодействую­щих центров в модельных системах приводит к большим вычислительным затратам, и, как следствие, интервал времени, на котором удается проследить эволюцию систе­мы, ограничивается единицами наносекунд. Моделирова­ние системы можно ускорить, применив другой подход, суть которого в следующем: группы атомов одной молеку­лы объединяются в единые элементы структуры, образуя «объединенные атомы», или «грубые зерна». За счет со­кращения числа взаимодействующих центров и увеличе­ния их массы удается сократить вычислительную нагруз­ку для выполнения одного шага моделирования и увели­чить временной шаг моделирования.

В случае «совмещенных» методов многомасштабного моделирования поведение системы в каждой размерной шкале зависит от ее поведения в других шкалах. Соответ­ствующие модели для каждой размерной шкалы уже раз­работаны: континуальная механика для макроупругих сред, молекулярная динамика с квантовомеханической связью для больших групп молекул. Между различными шкалами существует очень сложная взаимосвязь, кото­рая нуждается в четком определении и сглаженности.

«Совмещенные» методы важны для изучения целого ряда проблем, включая неоднородную деформацию, пове­дение многофазных материалов и наножидкостей. При использовании таких методов возникает, естественно, ряд методологических вопросов: как разделить шкалы, что является адекватным механизмом для связи атомного и континуального моделирования, как интегрировать ре­зультаты различных шкал моделирования и др. Для их решения предлагается, в частности, ввести так называе­мую область соединения, где совмещаются методы моде­лирования в различных масштабах: конечных элементов, молекулярной динамики и сильной связи.

В группу «совмещенных» методов входит также ква- зиконтинуальный метод, в котором соединяются методы молекулярной динамики и конечных элементов. Связь между ними осуществляется через ячейку «адаптации», позволяющей осуществлять перемещение от квазиконти- нуального масштаба до атомного уровня.

Кроме вышеназванных имеется метод молекулярной динамики, сочетающий квантовомеханическое описание объектов и использование модели классических сил. Раз­ные типы описания исследуемой системы совмещаются в единую объединенную схему, которая основана на идее усиления (уточнения) уникальных, легко параметризую­щихся моделей сил путем включения в такие модели (во время выполнения программы) квантовомеханической информации, необходимой для более точного определения траекторий движения.

Методы многомасштабных граничных условий не включают в явном виде модель континуальной среды, что­бы не возникало проблем с разделением шкал. Многомас­штабные граничные условия используются в основном в «совмещенных» методах моделирования, чтобы предста­вить атомное поведение системы в континуальной среде.

Это приводит к плавной связи между методами конечных элементов и молекулярной динамики без привлечения ис­кусственной области «сшивки» атомной системы с конти­нуальной средой.

Существуют также так называемые гибридные мето­ды, целью которых является соединение областей с не­сравнимыми масштабами времени и длины. Например, жидкость, рассмотренная на атомном уровне в пределах внутренней области Р, соединяется с внешней областью С, описанной в терминах континуальной механики жидко­стей. Согласование обоих описаний проводится с помощью перекрытия (совмещения) этих двух областей, состояще­го из двухсторонних схем связи (С -> Р и Р -> С), которые передают массу, импульс и энергетические потоки.

Иногда многомасштабное моделирование необходимо для сочетания областей разного масштаба в одном моде­лировании. Тогда можно использовать условия, при ко­торых эти области будут согласовываться. Например, представлен новый класс условий согласования атомной и континуальной областей для моделирования кристал­лов. Такой способ был применен в дислокационной дина­мике и для описания трения между двумерными атомны­ми плоскими поверхностями кристаллов.

7.1.

<< | >>
Источник: Ибрагимов И. М., Ковшов А. Н., Назаров Ю. Ф.. Основы компьютерного моделирования наносистем: Учебное пособие. — СПб.. 2010

Еще по теме КОНЦЕПЦИЯ МНОГОМАСШТАБНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ:

  1. Глобальное моделирование
  2. § 4. Что такое социальное моделирование?
  3. ПРЕДИСЛОВИЕ: МИФ О МОДЕЛИРОВАНИИ
  4. Моделирование экстремальных ситуаций и факторов
  5. Методология глобального моделирования
  6. Ибрагимов И. М., Ковшов А. Н., Назаров Ю. Ф.. Основы компьютерного моделирования наносистем: Учебное пособие. — СПб., 2010
  7. Глава 24 Экологическое моделирование
  8. Развитие глобального моделирования в России
  9. Моделирование, экологическая экспертиза и мониторинг окружающей среды
  10. Т. В. Карадже. Методология моделирования и прогнозирования современного мира: Коллективная монография, 2012
  11. Деева Н. В. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК МЕТОДПОЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
  12. Моделирование сознания.
  13. Занятие 2. Моделирование урока истории (деловая игра)
  14. Измерение как моделирование реальности
  15. 7.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССАПЕРЕНОСА ПРИМЕСИ
  16. ВТОРОЙ ТИП - УЧЕБНОЕ ЗАНЯТИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ НОВОГО ПОНЯТИЯ