<<
>>

Глава III О МЕТОДЕ СЛОЖЕНИЯ, И В ЧАСТНОСТИ О ТОМ, КОТОРЫЙ ПРИМЕНЯЮТ ГЕОМЕТРЫ

Из сказанного в предыдущей главе мы уже получили некоторое представление о методе сложения, являющемся наиболее важным, потому что имедшо им пользуются для изложения любой науки.

Суть этого метода в том, чтобы, начиная с самого общего и самого простого, переходить к менее общему и более сложному.

Таким образом избегают частых повторений; ведь если бы виды рассматривали прежде рода, то надо было бы по многу раз излагать сущность рода — при рассмотрении каждого вида, поскольку невозможно познать вид, не познав его рода.

Есть еще много других требований, которые надо соблюдать, чтобы сделать этот метод совершепным и полностью соответствующим своему назпачепию — доставлять нам ясное и отчетливое знание истины. Но так как общие предписания труднее попять, когда они отвлечены от всякого конкретного содержания, мы- рассмотрим метод, которому следуют геометры, ибо он во все времена считался наиболее пригодным для того, чтобы внушить истину и полностью убедить в ней ум. Мы покажем, во- первых, что в нем есть правильного, и, во вторых, какие в нем обнаруживаются недостатки.

Поставив перед собой цель выдвигать только убедительные положения, геометры решили, что они могут добиться этого, соблюдая в общем три условия. 1.

Не оставлять никакой двусмысленнодти в терминах. Этого они достигают определениями слов,—о них мы говорили в первой части. 2.

Основывать свои умозаключения только на ясных и очевидных началах, которых не может оспаривать ни один разумный человек. Поэтому они прежде всего устанавливают аксиомы, требуя, чтобы их принимали без доказательства, ибо эти аксиомы настолько ясны, что их лишь затемнили бы, если бы пожелали обосновать. 3.

Доказывать демонстративным путем все выводи- мые ими заключения, пользуясь только принятыми определениями, началами, которые признаны совершенно очевидными, или положениями, которые они уже вывели из этих начал и определений путем умозаключения и которые затем сами становятся у них началами.

Итак, все, что геометры соблюдают, чтобы сделать истину убедительной для ума, можно свести к этим трем главным пунктам, изложив их в виде следующих пяти важнейших правил8.

Необходимые правила

Для определений 1.

Не оставлять без определения ни одного сколько- нибудь неясного или неоднозначного термина. 2.

Использовать в определениях только хорошо известные или уже разъясненные термины.

Для аксиом 3.

Принимать за аксиомы только совершенно очевидные положения.

Для доказательств 4.

Доказывать все сколько-нибудь неясные положения, используя для их доказательства только предшествующие определения, или принятые аксиомы, или уже доказанные положения, или прибегая к построению той самой вещи, о которой идет речь, когда [для того, чтобы дать понятие о ней,] надо произвести какое-то действие.

5. Никогда не обманываться неоднозначностью терминов и не забывать мысленно подставлять на их место определения, которые их ограничивают и разъясняют.

Вот что геометры считают необходимым для того, чтобы сделать доказательства убедительными и неопровержимыми. И надо признать, что соблюдения данных правил достаточно, чтобы, занимаясь науками, не допускать ложных умозаключении, а это, без сомнения, является главным, тогда как все остальное, можно сказать, скорее полезно, чем необходимо.

Глава IV

БОЛЕЕ ПОДРОБНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ЭТИХ ПРАВИЛ, И ПРЕЖДЕ ВСЕГО ТЕХ, КОТОРЫЕ КАСАЮТСЯ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

Хотя мы уже говорили в первой части о пользе определений слов, этот вопрос настолько важен, что нелишне будет рассмотреть его снова. Ведь посредством определений разрешается множество споров, часто имеющих своим источником лишь двусмысленность терминов, которые один понимает в одном смысле, а другой — в другом. Иные оживленные словоирения прекратились бы в один миг, если бы каждый из спорящих позаботился коротко и яспо определить термины, подающие повод для спора.

Цицероп заметил, что споры между древними философами, особенно между стоиками и академиками, были основаны большей частью лишь на двусмысленности слов, потому что стоики, желая возвысить себя, употребляли термины из этики не в том смысле, в каком их было принято употреблять.9 Это внушало мысль, что их этика является гораздо более суровой и более совершенной, хотя на самом деле все ее совершенство заключалось только в словах.

Ибо мудрец стоиков наслаждался всеми житейскими благами не меньше, чем философы других школ, которые, казалось бы, придерживались менее строгих правил, и точно так же избегал всякого зла и всякого беспокойства, с тою лишь разницей, что если

другие философы пользовались обычными словами «благо» и «зло», то стоики, предаваясь удовольствиям, называли их не благами, а предпочтительными вещами, /

jipot]if|ieva, и, избегая зла, не называли его злом, а го» /

ворили только о нежелательных вещах, алояротпцвуа 10.

Итак, это весьма полезный совет — прекращать всякие споры, основанные лишь на неоднозначности слов, определяя двусмысленные термины через другие слова, настолько ясные, чтобы их невозможно было неправильно понять.

Этой цели служит первое из приведенных выше правил: Не оставлять без определения ни одного сколько- нибудь неясного или неоднозначного термина.

Но чтобы извлечь из определений наибольшую пользу, надо прибавить еще второе правило: Употреблять в определениях только хорошо известные или уже разъясненные термины, т. е. только термины, сколь возможно ясно обозначающие идею, которую мы хотим выразить определяемым словом.

Ибо, если идея, с которой мы хотим связать какое-то слово, не обозначена достаточно ясно и отчетливо, в дальнейшем мы почти неизбежно, сами того не замечая, переходим к другой, ОТЛИЧНОЙ от нее идее, т. е. вместо того чтобы, пользуясь ЭТИМ словом, всякий раз мысленно подставлять ту самую идею, которую мы им обозначили, подставляем другую, данную нам самой природой. Это легко обнаружить, подставив определение вместо того, что было определено. Если мы последовательно придерживались одной и той же идеи, такая подстановка не должна что-либо изменить в выдвинутом положении; если же мы перешли к другой идее, подстановка внесет в это положение новый смысл.

Поясним это несколькими примерами. Евклид определяет плоский прямолинейный угол таким образом: Схождение двух наклоненных друг к другу прямых на одной плоскости и. Если рассматривать данное определение как простое определение слова, предполагая, что слово угол лишили всякого значения, с тем чтобы оно обозначало только схождение двух линий, тогда на это нечего возразить. Евклиду позволительно было назвать словом угол схождение двух линий. Но он обязан был помнить об этом и употреблять слово угол только в та- ком смысле. Л чтобы судить о том, выполняет ли он это требование, надо только всякий раз, когда он говорит об угле, подставлять вместо слова угол данное им определение, и если при такой подстановке в сказанном обнаружится какая-нибудь нелепость, отсюда будет следовать, что он не придерживался той самой идеи, которую он определил, и незаметно перешел к другой, а именно к нашей естественной идее угла. Например, он показывает, как разделить угол пополам. Подставим определение: разве не очевидно, что отнюдь не схождение двух линий делится пополам, имеет стороны и основание, или стягивающую, и что все это относится к пространству, заключенному между линиями, а не к схождению ЛИНИЙ?

Ясно, что ввело Евклида в заблуждение и помешало ему определить угол как «пространство, заключенное между сходящимися линиями»: он видел, что это пространство может быть большим пли меньшим в зависимости от длины линий, образующих угол, но угол не становится от этого больше или меньше. Однако отсюда оп должен был сделать не тот вывод, что прямолинейный угол не есть пространство, а только тот, что это пространство, заключенное между двумя сходящимися прямыми линиями и неопределенное в том из двух своих измерений, которое соответствует длине этих линий, в другом же измерении определенное через соответственную часть окружности, имеющей центром точку, в которой сходятся эти линии.

Это определение столь ясно обозначает общую для всех людей идею угла, что оно является одновременно II определением слова, и определением вещи, если не считать, что слово «угол» в обыденной речи означает также II телесный угол, тогда как посредством этого определения его сужают таким образом, что оно обозначает плоский прямолинейный угол. И если мы дали углу такое определение, все, что можно будет затем сказать о плоском прямолинейном угле, каков он во всех прямолинейных фигурах, без сомнения, будет ИСТИННЫМ ^применительно к этому углу, определенному таким образом, н у нас никогда не возникнет необходимости изменить идею и никогда не получится никакой нелепости, если мы подставим определение вместо того, что мы определили. Ведь именно это пространство мож- но разделить па две, на три, па четыре части. Именно это пространство имеет две стороны, между которымп оно заключено. Именно - его можно ограничить с топ стороны, с которой оно само по себе неограниченно, линией, называемой основанием или стягивающей. Именно это пространство не рассматривается как большее или меньшее оттого, что оно заключено между двумя линиями большей пли меньшей длины: раз оно в этом измерении неопределенно, не от этого зависит его величина или малость. Такое определение позволяет судить, равен ли один угол другому или же является большим или меньшим. Так как величина этого пространства определяется только соответственной частью окружности, ИМЄЕО- щей центром точку, в которой сходятся линии, заключающие угол, то если два угла измеряются одинаковыми частями своих окружностей, например десятой частью, они равны; если один измеряется десятой частью, а другой — двенадцатой, тот, который измеряется десятой, больше того, который измеряется двенадцатой. Если же исходить из определения Евклида, невозможно понять, в чем состоит равенство двух углов, и это, как заметил Рамус, вносит в «Начала» ужасную путаницу. Правда, самому Рамусу не удалось найти лучшего определения.

Приведем еще два определения Евклида, в которых он допускает ту же ошибку, что и в определении угла. Отношение,— говорит он,— есть зависимость двух однородных величин, сравниваемых по количеству,2. Пропорция есть подобие отношений 13.

В соответствии с этими определениями, имя отношение должно обозначать и такую зависимость между двумя величинами, когда рассматривают, насколько одна из них превосходит другую. Ибо нельзя отрицать, что речь идет о зависимости между двумя величинами, сравниваемыми по количеству. И следовательно, четыре величины имеют пропорцию между собой, когда разность между первой и второй равна разности между третьей и четвертой. Против этих определений Евклида было бы трудно что-либо возразить, если бы оп последовательно придерживался тех идей, которые он обозначил словами отношение и пропорция. Но он их пе придерживается, так как в его книге числа 3, 5, 8, 10 не рассматриваются как находящиеся в пропорции, хотя данное им опре- деление слова пропорция к ним подходит, поскольку между первым и вторым числом, сравниваемыми по количеству, есть зависимость, подобная той, какая есть между третьим и четвертым.

Чтобы избежать этой несообразности, надо было отметить, что две величины можно сравнивать двояким образом: рассматривая, во-первых, насколько одна превосходит другую, и, во-вторых, каким образом одна содержится в другой. И так как эти две зависимости различны, им надо было дать разные имена, назвав первую разностью, а для второй оставив имя отношение. Надо было, далее, определить пропорцию как равенство зависимостей того или другого вида, т. е. равенство разности или отношения, и, поскольку это составляет две разновидности, также различать их посредством двух разных имен, называя равенство разностей арифметической про- порцией, а равенство отношений — геометрической пропорцией. А так как последняя имеет гораздо большее применение, чем первая, можно было также предупредить, что, когда говорят просто пропорция или «пропорциональные величины», подразумевают геометрическую пропорцию, арифметическая же подразумевается только тогда, когда это оговорепо. Это устранило бы всю неясность и двусмысленность.

Из всего сказанного явствует, что тем общим принципом, согласно которому определения слов произвольны, нельзя злоупотреблять. Надо стараться определять идею, с которой мы хотим связать определяемое слово, настолько четко и ясно, чтобы в продолжение всего рассуждения мы пе могли незаметно для себя подменить эту идею, т. е. употребить слово не в том значении, которое мы придали ему посредством определения, в каковом случае, подставив определение вместо того, что было определено, мы неизбежно пришли бы к какой- нибудь нелепости.

<< | >>
Источник: А. АРНО, П. НИКОЛЬ. Логика, или Искусство мыслить / М.: Наука. – 417 с. – (Памятники философской мысли).. 1991

Еще по теме Глава III О МЕТОДЕ СЛОЖЕНИЯ, И В ЧАСТНОСТИ О ТОМ, КОТОРЫЙ ПРИМЕНЯЮТ ГЕОМЕТРЫ:

  1. Глава XX МЕТОД НАУК В ЧАСТНОСТИ
  2. Глава IX О НЕКОТОРЫХ НЕДОСТАТКАХ, СВОЙСТВЕННЫХ МЕТОДУ ГЕОМЕТРОВ
  3. Глава XVII ОБ ОБЩИХ МЕСТАХ, ИЛИ О МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ. О ТОМ, СКОЛЬ МАЛОПРИМЕНИМ ЭТОТ МЕТОД
  4. Глава III О ТОМ, ЧТО СЛЕДУЕТ ВНИМАТЬ СЛОВАМ БОЖИИМ СО СМИРЕНИЕМ, И О ТОМ, ЧТО ЛИШЬ НЕМНОГИЕ ЗАДУМЫВАЮТСЯ НАД НИМИ, КАК ДОЛЖНО
  5. III. Морфологическое сложение растений
  6. § 2. Категории лиц, к которым применяются принудительные меры медицинского характера
  7. § 1. Категории лиц, в отношении которых применяется особый порядок производства по уголовным делам
  8. Г лава V О ТОМ, ЧТО ГЕОМЕТРЫ, ПО-ВИДИМОМУ, НЕ ВСЕГДА ХОРОШО ПОНИМАЮТ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ СЛОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ВЕЩЕЙ
  9. Глава III О ТОМ, ЧТО ЗНАНИЕ О БОГЕ ОТ ПРИРОДЫ УКОРЕНЕНО В СОЗНАНИИ ЛЮДЕЙ16
  10. Глава I О ТОМ, ЧТО БЛАГА, ПРИНЕСЁННЫЕ НАМ ИИСУСОМ ХРИСТОМ, О КОТОРЫХ ГОВОРИЛОСЬ ВЫШЕ, МЫ ПОЛУЧАЕМ ПОСРЕДСТВОМ ТАЙНОГО ДЕЙСТВИЯ СВЯТОГО ДУХА
  11. В. Критическая оценка концепции Эйнштейна относительно взаимозависимости геометрии и физики: физическая геометрия как контрпример D-тезиса в его нетривиальной форме.
  12. Глава 13 О              том, что Христос и Евангелие принадлежат Тому же Богу, Которому Закон и природа; об              обрезании сердца; об оправдании Закона (Рим. Гл. 1—7)
  13. ГЛАВА III МЕТОДЫ ВОСКРЕШЕНИЯ ЛЮДЕЙ
  14. Глава III О ТОМ, ЧТО ТАКОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ, И О ЧЕТЫРЕХ ВИДАХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ
  15. Глава III О ТОМ, ЧТО ИСПОРЧЕННАЯ ПРИРОДА ЧЕЛОВЕКА НЕ ПРОИЗВОДИТ НИЧЕГО, ЧТО НЕ ПОДЛЕЖАЛО БЫ ОСУЖДЕНИЮ
  16. Глава III. ИМУЩЕСТВЕННАЯ СОВОКУПНОСТЬ, ОСНОВАННАЯ НА ТОМ, ЧТО ИМУЩЕСТВО ПРИНАДЛЕЖИТ ОДНОМУ ЛИЦУ; ТЕОРИЯ ИМУЩЕСТВА