<<
>>

2. Статистическая и логическая вероятность

Рудольф Карнап сделал попытку определить «вероятность теории или гипотезы» более общим способом, основанным не на традиционном исчислении вероятности. Он отправляется от материала чувственных наблюденией или измерений, который он кратко называет данным эмпирическим свидетельством (е).
Затем он делает допущение, что посредством воображения или догадки мы нашли гипотезу Л, из которой выведены утверждения о наблюдениях. Если мы знаем е и Л, то можем задать вопрос: какова вероятность, что Л справедлива на основе материала наблюдений б? Гипотеза h найдена или о ней можно догадываться на основе эмпирического свидетельства е с помощью индукции. Целью Карнапа было установить математический критерий для степени, с которой h «оправдывается» через е (степень подтверждения). Эта степень интерпретируется так же, как «индуктив- ная вероятность», что Л оправдывается на основе свидетельства е, или, другими словами, вероятность, что индукция, которая ведет от свидетельства е к гипотезе А, есть справедливая индукция. Значением термина «индуктивная вероятность» является не «статистическая вероятность», употребляемая в обычной интерпретации вероятности в утверждениях, которые встречаются в статистических теориях физики и генетики. В последнем случае термин «вероятность» упо< требляется в смысле относительной частоты. Как мы уже говорили, излагая взгляды Рейхенбаха и Мизеса, было бы, по-видимому, весьма сложным и искусственным делом приписывать статистическую вероятность справедливости научных гипотез. Карнап предложил употреблять термин «статистическая вероятность» в тех случаях, в которых мы можем утверждения вероятности свести к утверждениям об относительной частоте, а в других случаях употреблять новый термин «индуктивная вероятность». В этой терминологии утверждение, что «индуктивная вероятность гипотезы А на основе некоего свидетельства е высока», значит то же самое, что и высказывания: «свидетельство е подтверждает гипотезу А с высокой степенью» или «степень подтверждения высока».
Понятие «индуктивная вероятность», или «степень подтверждения», есть, как ёго вводит Карнап, чисто логическое понятие. Оно поэтому также называется «логической вероятностью». Истинность утверждения об индуктивной вероятности гипотезы А на основе свидетельства е не зависит от истинности ей А, так же как в дедуктивной логике истинность утверждения «е имплицирует А» не зависит от истинности А и е.

Карнап делает попытку построить «индуктивную логику»!, которая во многих отношениях аналогична дедуктивной логике. Он дает следующий пример этой аналогии. В дедуктивной логике наблюдаемое свидетельство е может быть: «Все люди смертны, Сократ— человек». Из этого свидетельства мы можем сделать заключение А: «Если так, то Сократ — смертен», Это заключение может быть выведено и без знания того, верно ли, что все люди смертны и что Сократ—человек. Нам нужно только знать логическую структуру свидетельства и законы заключения (или логическую импликацию). В этом случае элементарное утверждение дедуктивной логики гласит: «е имплицирует к». Аналогичный пример в индуктивной логике начинался бы с наблюдаемого свидетельства е, что «число жителей Чикаго — три миллиона, два миллиона из них имеют черные волосы и Ь есть житель Чикаго». Используя правила индуктивной логики, мы сделали бы вывод, что индуктивная вероятность гипотезы h, что b имеет черные волосы на основе свидетельства е, равна 2/з. Истинность этого вывода не зависит от того, верно ли, что в Чикаго три миллиона жителей, два миллиона из которых имеют черные волосы, и от того, верно ли, что b есть житель Чикаго. Точно так же правильность высказывания «е имплицирует /г» зависит только от правил импликации, а не от истинности свидетельства Чтобы наиболее легким способом сформулировать общее определение Карнапа, надо, может быть, начать с этого примера с жителями Чикаго. Данное свидетельство е определяет область людей b, являющихся жителями Чикаго. Гипотеза h определяет область людей bt которые имеют черные волосы. Из свидетельства следует, что эти две области (жители Чикаго и люди с черными волосами) имеют общую область, которая определяется людьми, являющимися жителями Чикаго и имеющими черные волосы.

Если s есть утверждение формы «6 имеет определенное свойство рг», то функция т(Ь)> приписываемая свойству рг, есть положительное число, «мера» области, которая содержит всех людей b, имеющих свойство рг. Тогда т\е) есть область всех людей 6, являющихся жителями Чикаго, тогда как m(h) есть область всех .людей 6, имеющих черные волосы. Логическая конъюнкция h>e утверждает, что человек b есть житель Чикаго и имеет также черные волосы. Тогда m{h*e) есть область всех жителей Чикаго, имеющих черные волосы. Таким образом, на основе свидетельства е ясно, что т(Н'Є)/т(е) — 2Д, и понятно, что Карнап определяет свою индуктивную вероятность і гипо- тезы h на основе свидетельства е посредством і = m(h* е)/т(е). В то время как m(s) есть функция одного предложения s, индуктивная вероятность I = tn(s, r)!m(s) есть функция двух предложений свидетельства е и гипотезы h.

В примере, с которого мы начали, мера т(е) есть просто число жителей или число людей с черными волосами. Вообще т(е) есть мера всех наблюденных фактов, которые наша гипотеза h должна объяснить. Как мы знаем из нашего обсуждения причинности (гл. 11 и 12), каждый результат наших наблюдений физической системы может быть описан путем приписывания динамическим переменным системы конкретных значений, или, другими словами, путем описания «состояния системы». Для нашего простого примера «состояние» было описано числом жителей и «область всех возможных» состояний был описан посредством всех возможных чисел жителей, го есть посредством всех положительных целых чисел. «Область всех возможных состояний физической системы» описывается посредством систем всех возможных значений динамических переменных. В то время как в нашем простом примере «область» свидетельства есть определенная область среди положительных целых чис'ел, область свидетельства для главной физической системы дается как определенная область динамических переменных. Свидетельство е характеризуется определенными значениями, которые приписываются динамическим переменным, как результат действительных наблюдений. Гипотеза h характеризуется определенными значениями, которые приписываются динамическим переменным как результат логического отклонения от системы принципов.

Мы легко поймем эти общие соображения с помощью простого примера. Свидетельство может состоять из наблюдений положений материальной точки на плоскости. Тогда «областью» единичного наблюдения является площадь небольшого круга вокруг точки, потому что мы всегда должны иметь в виду, что благодаря ошибкам наблюдения единичное наблюде- ниє никогда не дает геометрической точки, а дает небольшую площадь вокруг точки. Если мы проведем число N наблюдений, то сумма площадей, соответствующих числу N наблюдений, составляет «область свидетельства е». В этом простом случае «мера свидетельства» т(е) является суммой всех круговых площадей, полученных числом N наблюдений. Мы можем, например, рассматривать их как положения планеты во время ее движения вокруг Солнца. Как хорошо известно, Кеплер вывел из этого свидетельства гипотезу, что все эти (положения имеют место на эллиптической орбите. Теперь мы можем поставить вопрос: какова вероятность гипотезы, построенной на основе свидетельства е, представленного нашим числом N наблюдений? Так как «мера» свидетельства дается суммой N круговых площадей, мера гипотезы h дается областью положений, выведенных из этой гипотезы. Если мы опять сделаем допуск для ошибки наблюдения, то эта область будет состоять из площади между двумя эллиптическими кривыми. Мера от (А) равна площади между этими эллипсами. Круговые площади, соответствующие полученному наблюдением свидетельству е, могут иметь некую общую площадь — все равно, будет она или не будет в площади m(h). В площади, которую они имеют сообща, конъюнкция h*e верна в каждой точке. Следовательно, вся площадь, которую они имеют сообща, дается посредством m(h*e) мерой конъюнкции Тогда индуктивная вероятность гипотезы Кеплера дается, согласно Карнапу, выражением і = т(е• h)/m,(e). Если N маленьких круговых площадей расположены таким образом, что вся площадь между эллипсами покрыта ими, то площади т(е) и m(e»h) —одни и те же и индуктивная вероятность приближается к значению единицы. Вероятность гипотезы Кеплера приближается к достоверности. Вообще чем больше общая площадь экспериментального свидетельства и эллиптического пояса, тем больше индуктивная вероятность гипотезы Кеплера.

Однако мы не должны забывать, что гипотеза Кеплера представляет собой только очень простой

! пример для исчисления индуктивной вероятности, і Динамические переменные, которые употребляются і для формулирования гипотезы, совершенно те же, что и употребляемые для экспериментального свидетельства: координаты материальных точек на плоскости. Однако утверждение становится бесконечно более сложным, если мы, например, зададим воіпрос о том, ? какова индуктивная вероятность ньютоновских законов движения (законы инерции и т. д.). Главная трудность состоит в том, что из самих ньютоновских законов никаких положений материальных тел вывести нельзя без предположений о системе сил, действующих на тела, и о структуре тел (упругой, пластической, жесткой и т. д.). Трудно вычислить индук- , тивную вероятность ньютоновских законов, исходя из 1 свидетельства, потому что это свидетельство зависит не только от этих законов, но и от большого разнообразия структурных влияний. Потому число динамических переменных было бы весьма большим. Мы знаем (из гл. 11 и 12), что закон причинности имеет практическое значение только в том случае, если число динамических переменных мало. Точно так же закон, определяющий индуктивную вероятность гипотезы в определенной системе, не имеет практического : значения, если чйсло динамических переменных в этой 1 системе становится очень большим. По существу говоря, гипотеза, вроде законов Ньютона, не утверждает, какие состояния предполагаются, и не допускает вычисления формулы і = m(h*e)jm(e). Карнап пишет:

«Существует множество индукций в науке, которые ввиду их сложности делают применение индуктивной логики практически невозможным. Например, мы не можем применить индуктивную логику к общей теории относительности Эйнштейна»45.

Это, однако, не является серьезным возражением против индуктивной логики. Как мы знаем из нашего изложения «причинности», этот закон не может быть применен к ситуациям большой сложности. Задача «прикладной индуктивной логики» состоит в том, чтобы решить, являются ли ситуации, в которых исчисление і = m(h*e)lm(e) возможно, достаточно сложными, чтобы сделать их хорошим приближением к практическим ситуациям, или это исчисление применимо к ситуациям, которые не имеют практического значения.

Поскольку, согласно Карнапу, утверждения индуктивной логики — чисто логические, постольку они ничего не говорят о физических фактах, или, другими словами, они не являются результатами наблюдений. Они того же типа, что и формальная система геометрии, евклидовой или неевклидовой, пока не введены операциональные определения (вроде прямых линий или световых лучей). Чтобы высказать утверждения об индуктивной вероятности, которые могут быть проверены наблюдением, мы должны добавить операциональное определение термина «индуктивная вероятность». Если мы скажем, что «прямая линия представляет собой световой луч в вакууме» или «грань острого ножа», то тогда утверждение приобретает точное значение только в том случае, если мы представим операции, посредством которых произведем световой луч или острие ножа. Если мы говорим об операциональном значении «индуктивной вероятности», то должны говорить о том, какие действия вводятся утверждениями, в которых встречается термин «индуктивная вероятность». Карнап очень настойчиво подчеркивает мысль о том, что «сама индуктивная логика может высказывать утверждения об индуктивной вероятности, но имеет отношение к практическому применению ее теорем не в большей мере, чем чистая геометрия имеет отношение к применению геометрических теорем для целей навигации». В действительности, говоря точнее, мы знаем, что даже все утверждения о треугольнике из стали или дерева относятся в этом смысле к прикладной геометрии, или, употребляя более общий термин, к физической геометрии. Из обсуждения геометрии и механики мы знаем, что операциональные определения сами всегда содержат термины, которые являются не символами, а словами нашего повседневного языка. Физические операции формулируются с помощью словаря, который не очень отличается от словаря, которым мы пользуемся для описания нашего обеденного стола. По этой причине изложение способа, каким мы применяем геометрию или механику на практике, само не является частью содержания геометрии или механики. Системы, которые мы называем геометрией или механикой, или теорией относительности, являются инструментами, которыми мы пользуемся для того, чтобы сделать нашу жизнь более приятной. Следовательно, их полезность в основном того же типа, что полезность любого орудия, будь это молоток, измерительная линейка, аэроплан или атомная бомба. Согласно Карнапу, это же относится и к системе индуктивной логики; эта система допускает только вычисление значений «индуктивной вероятности», которое достигается целью дедуктивных умозаключений в пределах системы. Он пишет:

«Анализ применения предполагает также некоторые допущения и понятия психологического порядка (например, касающиеся измерения предпочтения и оценки). Эта проблема и связанные с нею трудности относятся к методологии особой эмпирической науки, психологии оценки как части теории человеческого поведения, и поэтому их не следует считать затруднениями индуктивной логики»46.

Теория индуктивной ло-гики, согласно Карнапу, не может руководить человеческими решениями, если мы ограничим эту теорию «чистой логикой», правилами исчисления вероятности с помощью формулы і = т(е 'h)Jm(e). К этой теории мы должны добавить ясно выраженные правила действия, которые необходимы, если мы хотим сделать из этой теории систему советов относительно того, как действовать в определенной ситуации. Первое правило, сформулированное Карнапом, гласит: «Предположите, что произойдут события, которые имеют высокую степень і (индук- тивной вероятности) на основе свидетельства е, и действуйте так, как если бы вы знали, что эти события достоверны». Если затем к правилам, которые говорят нам, как исчислять индуктивные вероятности, мы добавим «правила действия», то получим теорию, которая учит нас, как действовать в данной ситуации.

Поучительно сравнить эти правила действия с теорией, которую мы получим, если будем исходить не из «индуктивной вероятности», а из «статистической вероятности», которой пользуются в обычном изложении «исчисления вероятности» и его применения в науке. Как мы выше упоминали, определение «статистической вероятности» исходит из бесконечной произвольной серии, в которой каждое событие имеет определенную «относительную частоту», например выпадание одного очка в серии бросаний обычной игральной кости. В таком случае «относительная частота» называется «статистической вероятностью» этого события. В нашем случае вероятность р нашего очка есть, очевидно, р —'Ve47 Мизес показал, что из его определения мы можем вывести все правила традиционного исчисления вероятности. С помощью этих правил из данного коллектива мы можем вывести другие коллективы и вычислить относительные частоты событий в каждой серии. Ясно, что ничего нельзя сказать о «вероятности индивидуальных событий». Бессмысленно задаваться вопросом о «вероятности» выпадания одного очка при индивидуальном бросании. Если мы хотим получить совет о том, как решать с помощью этого метода в. каком-либо определенном случае, то мы должны добавить «правила решений», как делаем это в «индуктивной логике». Например, мы должны принять правило, гласящее, что нужно поступать, как если бы события очень высокой степени вероятности в пределах серии были практически достоверными событиями в индивидуальных случаях. Понятия «индуктивной» и «статистической вероятности» на первый взгляд кажутся коренным образом отличающимися друг от друга. Карнап пишет;

«Элементарное утверждение статистической вероятности фактично и эмпирично; оно говорит нечто о фактах природы и, следовательно, должно основываться на эмпирической процедуре»1.

Исходя из этих утверждений, приписывающих некоему определенному событию конкретное значение (например, р—'/в), мы должны различать теоремы математической теории вероятности. Карнап пишет: «Они говорят о связях между значениями статистической вероятности». Кроме того, он пишет:

«Элементарное утверждение индуктивной вероятности, например утверждение, приписывающее двум данным аргументам (е и h) конкретное число (і) как значение индуктивной вероятности, является или логически истинным, или логически ложным... Оно не зависит от случайности фактов, потому что оно ничего не говорит о фактах, хотя эти два аргумента (ей h) и относятся в общем к фактам»2.

Однако если мы применяем оба понятия вероятности к одному и тому же конкретному случаю, то скоро замечаем, что оба понятия тесно связаны друг с другом; иногда бывает трудно даже отличать их друг от друга. Мы можем начать с простого утверждения: «Вероятность выпадания одного очка на этой игральной кости равна Это утверждение часто истолковывалось как типичный пример статистической вероятности. Оно, согласно этому истолкованию, говорит, что в длинной серии бросаний относительная частота одного очка будет 7е- Однако Карнап указал, что это утверждение может также истолковываться и как утверждение об индуктивной вероятности. Для этой цели мы будем рассматривать утверждение об относительной частоте как свидетельство и искать индуктивную вероятность гипотезы h на основе свидетельства е. Свидетельство е говорит, что относительная частота одного очка есть 7б. Затем мы исследуем гипотезу hy что следующее бросание нашей игральной кости даст одно очко, и задаемся вопросом: какова индуктивная вероятность этой гипотезы на основе свидетельства е? Из определения индуктивной вероятности (/ = т(е 'h)jm(e)) мы заключаем, что в примере і = 7б, или, в словесном выражение индуктивная вероятность, что следующее бросание дает одно очко, есть 7б. Мы приписываем индивидуальному событию (следующему бросанию) числовое значение вероятности. Если бы мы отождествили «вероятность» со «статистической вероятностью», то было бы, конечно, бессмысленно приписывать вероятность 7е индивидуальному бросанию. Если, однако, мы приписываем этому единичному событию числовое значение индуктивной вероятности, то это не значит, что данное утверждение может быть проверено экспериментом. Утверждение «индуктивной вероятности» является утверждением не о доступном наблюдению факте, а о логической связи между данными утверждениями. В нашем примере оно говорит, что на основе наблюдавшейся частоты выпадания одного очка мы исчисляем вероятность индивидуального броска как і = 7е. Карнап пишет:

«Понятие индуктивной вероятности применяется также в случаях, в которых гипотеза h является предсказанием относительно какого-либо конкретного события, например предсказанием, что завтра будет дождь или что при следующем бросании этой игральной кости выпадет одно очко»48.

Если мы согласны* с утверждением, что «индуктивная вероятность выпадания одного очка для какого- либо конкретного бросания есть 7б», и принимаем правила решения Карнапа, то будем действовать совершенно так же, как если бы Мы из опыта знали, что «статистическая вероятность» в длинной серии бросаний равна 76. Ни утверждение об «индуктивной вероятности» индивидуального события, ни утверждение «статистической вероятности» в пределах длинной серии не дают прямо правила действия, если не до- бавить операциональных определений, или, другими словами, правил решения.

В течение последних десятилетий, приблизительно с 1920 года, среди ученых и философов имело место расхождение относительно правильной* «теории вероятности». В своей фундаментальной статье, написанной в 1919 году49, Рихард Мизес выдвинул ряд принципов, из которых могло быть выведено все исчисление вероятности. В этой системе вероятность определялась как «статистическая вероятность», и автор твердо заявлял, что это — единственное понятие вероятности, совместимое с эмпирической и позитивистской концепцией науки.

Так как Карнап в течение всех этих десятилетий считался одним из главных защитников взгляда, который мы называем эмпиризмом и позитивизмом в науке и философии, его обвиняли в тяжелом преступлении, заключающемся в том, что он защищал, помимо статистической и эмпирической, еще и второе понятие вероятности. Конечно, главным принципом эмпиризма или даже логического эмпиризма, как понимал его Карнап, является принцип возможности верифицируемое™ или подтверждаемости. Строгие последователи статистической концепции вероятности сказали бы, что никакое утверждение, что конкретное событие наступит с определенной вероятностью, не может быть верифицировано. Следовательно, согласно доктринам логического эмпиризма, оно бессмысленно. Рассматривая возражения эмпиристов и позитивистов, Карнап (пишет:

«Они могли бы, например, сказать: «Как может быть верифицировано утверждение, что вероятность дождя завтра на основе свидетельства, данного метеорологическими наблюдениями, равна 7б? Завтра мы будем наблюдать или дождь, или отсутствие дождя, но мы не будем наблюдать ничего, что может подтвердить значение Vs. Это возражение, однако, основано на неправильном понимании природы утверждений индуктивной вероятности. Это утверждение приписывает значение Уб не индуктивной вероятности завтрашнего дождя, а скорее определенному логическому отношению между предсказанием дождя и метеорологической сводкой» 1.

Карнап подчеркивает, что такое утверждение является чисто логическим и, следовательно, не нуждается в верификации посредством наблюдения завтрашней погоды. Карнап делает попытку выяснить эту ситуацию путем сравнения с дедуктивной логикой. Он начинает с предложения h: «Завтра будет дождь» и /: «Завтра будет дождь и ветер». В таком случае, говорит он, можно с достоверностью заключить на основе дедуктивной логики, что «Л логически следует из /». Тогда даже самый строгий логический эмпирист не потребует, чтобы это утверждение было подтверждено наблюдением дождя. Согласно Карнапу, «утверждение «индуктивная вероятность гипотезы h на основе свидетельства е равна Уб» имеет тот же общий характер, что и первое утверждение... Разница между этими двумя утверждениями сводится только к следующему: в то время как первое утверждает полную логическую импликацию, второе утверждает только, так сказать, частичную логическую импликацию»2.

В то время как Мизес защищает исключительное употребление статистической вероятности, Кейнс и Джефрис рекомендовали логическое понятие вероятности, которое в некоторых отношениях похоже на «индуктивную вероятность» Карнапа.

<< | >>
Источник: Франк Филипп. Философия науки. Связь между наукой и философией: Пер. с англ. / Общ. ред. Г. А. Курсанова. Изд. 2-е. — М.: Издательство ЛКИ. — 512 с. (Из наследия мировой философской мысли; философия науки.). 2007

Еще по теме 2. Статистическая и логическая вероятность:

  1. 1. Индукция и статистическая вероятность
  2. Статистические методы 3.4.1 Цель статистических методов
  3. 3. Какая же теория вероятности является справедливой?
  4. 2J. Интерпретация и нахождение вероятностей
  5. 2А. Вероятность
  6. Нулевая вероятность
  7. ВЕРОЯТНОСТЬ ЖИЗНИ
  8. 3J. Измерение вероятностей в атомной физике
  9. МАГИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
  10. Динамические и статистические закономерности
  11. § 2. Статистические источники
  12. 8.4. Измерение вероятностей в ядерной физике
  13. К практическому применению статистических методов
  14. Возможность, действительность, вероятность
  15. Обзор статистических методов
  16. ВЕРОЯТНОСТЬ ЗАЧАТИЯ У ЖЕНЩИН, СОХРАНИВШИХ СПОСОБНОСТЬ К ВОСПРОИЗВОДСТВУ ПОТОМСТВА
  17. Статистическая отчетность
  18. Статистические и реальные группы
  19. II. Статистическая аналогия закона энтропии