Узоры золотого сечения


Занимательная математика всегда была страстью Роджера Пепроуза. Активный интерес ученого к этой области, можно сказать, семейная черта, унаследованная им от отца, генетика Л. С. Пепроуза, также увлекавшегося математическими головоломками.
В 1950-е годы отец и сын Пепроузы, находясь под сильным впечатлением от знакомства с творчеством голландского художника Морица Эшера, придумали пару собственных «невозможных фигур» в эшеровском духе: широко известные пыпе «бесконечную лестницу Пепроузов» и треуголышк-«трибар».
Впоследствии Эшер использовал идеи Пепроузов в таких своих литографиях, как «Водопад» и «Восхождение и спуск».

А
Хотя основная работа Пенроуза сосредоточена иа теории относительности и квантовой физике, свою докторскую диссертацию в Кембридже он защищал в области алгебраической геометрии. К этому разделу математики весьма тесно примыкают легкомысленные иа первый взгляд задачи геометрических головоломок, связанных с проблемой «замощения», т. е. разбиения плоскости фигурами определенной формы.
Задачи разбиения плоскости тривиально решаются с помощью периодически повторяющихся комбинаций из таких фигур как равнобедренные треугольники, прямоугольники, шестиугольники, и т. п. Пенроуза же интересовала проблема отыскания такой формы фигур, которая приводила бы к замощению плоскости без порождения повторяющихся узоров. В действительности эта задача чрезвычайно важна, поскольку связана с проблемой разрешимости в математической логике. На протяжении многих лет считалось, что не может быть таких плиток, из которых строились бы только непериодические мозаики. Затем, в 1960-е годы решение нашли, но для плиток тривиальной квадратной формы, снабженных несколькими пазами и выступами.
Пеироузу удалось найти решение для неквадратных плиток, одиако поначалу для этого требовалось несколько тысяч фигур различной формы. Еще несколько лет понадобилось иа то, чтобы к 1973 г. сократить это число до шести. В конце же концов оказалось, что таких плиток нужно всего две, причем форма их предельно проста и замыкается на
одну из величайших тайн природы — знаменитое «золотое сечение», лежащее в основе всех гармоничных соотношений. Получаются фигуры из ромба с углами 72 и 108 градусов, большая диагональ которого поделена в отношении, равном «золотому сечению». Эти фигуры получили название Kite и Dart («воздушный змей» и «дротик»).


Плитки мозаики Пепроуза.
Чуть позже выяснилось, что и две фигуры можно свести до совсем простых форм — просто ромбов, составленных па основе «золотого треугольника» (с углами 36 и 144 градуса).
Мозаики Пепроуза стали предметом пристального изучения, поскольку демонстрируют множество примечательных свойств и поистине неисчерпаемую глубину, скрытую за «золотым сечением»: количество укладываемых плиток постоянно пребывает в соотношении, близком к золотой пропорции; получающиеся узоры «квазисимметричиы» и имеют ось симметрии пятого порядка; структура рисунков мозаики тесно связана с последовательностью Фибоначчи ...
Пенроуз вполне понимал, что найденные им фигуры можно заложить в основу коммерческих игр-головоломок. Поэтому он несколько лет предусмотрительно воздерживался от публикации своего открытия до тех пор, пока ие оформил на пего патенты в Британии, США и Японии. Правда, в результате судьба чуть было пе сыграла с излишне, быть может, расчетливым ученым злую шутку, поскольку в 1976 году по сути дела то же самое открытие независимо сделал молодой американский математик Роберт Амман.

И случись так, что обратил бы свое внимание великий популяризатор науки Мартин Гарднер па открытие Аммана, а ие Пепроуза, то и вошли
бы знаменитые мозаики в историю совсем под другим именем... но что сделано, то сделано, и патент на свое изобретение Пенроуз передал компании Pentaplex, которая делает па этой основе забавные, по пе такие уж простые в решении мозаики-головоломки из «петушков» и «курочек».
Мозаики Пенроуз а стали предметом пристального изучения, поскольку демонстрируют множество примечательных свойств и поистине неисчерпаемую глубину.
В 1995 году ученый-математик по имени Роджер Шлафли оформил патент на два очень больших простых числа, им найденных, а посему, в некотором смысле, изобретенных. По поводу подобного «изобретения» в научном сообществе поднялась целая буря протестов, поскольку еще пикому в голову не приходило объявлять права интеллектуальной собственности на числа. Среди громко осудивших Шлафли, как это пи странно, был и сэр Роджер Пенроуз, с возрастом, похоже, несколько изменивший свои воззрения на этическую проблему патентования математических решений. «Это абсурд, — сказал он,— математика существует для всех».
Но судьба тут же приготовила Пеироузу ироничный урок. В 1997 году его жепа принесла из магазина пачку рулонов туалетной бумаги, на которой ученый мгновенно узнал характерный рисунок своего знаменитого детища — мозаику Пенроуза! Последовавшее негодование ученого по-человечески вполне можно попять. Оп столько лет занимался поиском решения сложнейшей задачи, а тут некая бесстыжая фирма использует его открытие для подтирания... ну, попятно чего. Математика —
это, конечно, для всех, но ие до такой же степени. И оскорбленный Пен- роуз подал на компанию в суд (хотя какой-нибудь рассудительный индус, наверное, иа подобную коллизию прореагировал бы спокойнее — «это карма»).
Ныне мозаики Пенроуза — это не только куча доказанных абстрактных теорем, головоломки Pentaplex и комичная история с сортиром. В 1984 году сотрудники НИСТ США сделали сенсационное открытие, обнаружив непериодическую структуру на электронограмме быстро охлажденного сплава марганца и алюминия. Расположение рефлексов — светлых пятен — иа снимке обладало осью симметрии 5-го порядка, что с математической точки зрения убедительно свидетельствовало о существовании непериодического пространственного расположения атомов, аналогичного мозаике Пенроуза.

Электроногралша непериодического кристалла с осью симметрии пятого порядка.


Это открытие было чрезвычайно сильным ударом по фундаментальным догмам кристаллографии, где долгое время господствовало утверждение, что кристаллы могут обладать лишь осями симметрии 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядка, но никак ие 5-го. Согласно другой догме, твердое вещество могло существовать только в двух формах: либо с регулярной периодической решеткой атомов в кристалле, либо в хаотическом беспорядке атомов аморфных тел, как в стекле, к примеру. Открытие кристаллов с непериодической «квазисимметричной» структурой означает,
что между аморфными телами и периодическими кристаллами имеется пе четкое разграничение, как казалось долгое время, а плавный переход.
Но означает это и нечто значительно большее. В частности, для понимания природы человеческого сознания, способного предсказывать вещи, противоречащие повседневному опыту и ие вычисляемые с помощью компьютера.
<< | >>
Источник: Киви Берд. Книга о странном. 2003

Еще по теме Узоры золотого сечения:

  1. СЕЧЕНОВ
  2. § 1. Античные мифологемы «золотого поколения» и «золотого века» в философской интерпретации способа бытия коренных народов Севера
  3. ЗОЛОТАЯ ЮРТА
  4. ЗОЛОТОЙ ВЕК
  5. Роль золота в кредитно-денежной системе США
  6. КУПИЛА ЗОЛОТУЮ ЦЕПОЧКУ, ДА НЕ ТУ
  7. 6. Столицы Золотой Орды
  8. РАСПАД ЗОЛОТОЙ ОРДЫ
  9. СМУТЫ В ЗОЛОТОЙ ОРДЕ
  10. "Золотой миллиард"
  11. Золотая середина
  12. ГОСУДАРСТВЕННЫЕ ОБРАЗОВАНИЯ НА РАЗВАЛИНАХ ЗОЛОТОЙ ОРДЫ
  13. ПРИЗРАК «ЗОЛОТОЙ ОРДЫ»
  14. ЗОЛОТОЙ ВЕК СВЯТООТЕЧЕСКОЙ ПИСЬМЕННОСТИ
  15. Игорь Бунич. Золото партии, 1994
- Альтернативная история - Античная история - Архивоведение - Военная история - Всемирная история (учебники) - Деятели России - Деятели Украины - Древняя Русь - Историография, источниковедение и методы исторических исследований - Историческая литература - Историческое краеведение - История Австралии - История библиотечного дела - История Востока - История древнего мира - История Казахстана - История мировых цивилизаций - История наук - История науки и техники - История первобытного общества - История России (учебники) - История России в начале XX века - История советской России (1917 - 1941 гг.) - История средних веков - История стран Азии и Африки - История стран Европы и Америки - История стран СНГ - История Украины (учебники) - История Франции - Методика преподавания истории - Научно-популярная история - Новая история России (вторая половина ХVI в. - 1917 г.) - Периодика по историческим дисциплинам - Публицистика - Современная российская история - Этнография и этнология -