4. Системность математической теории

Здесь надо учесть еще одно обстоятельство, а именно, специфическую системность математики. Математическая теория является жесткой системой в том смысле, что каждая доказательная связь обусловлена здесь многими другими доказательными связями.
Каждое доказательство связано с доказательствами, проведенными раньше, и само оно становится основой других доказательств и подтверждением результатов, полученных другими путями. Математическое доказательство не может существовать вне перекрещивающейся сетки доказательств, согласованных с ним. Математическая теория в этом смысле может быть уподоблена огромному кроссворду, где каждое слово многократно проверяется через все другие. Разница с обычным кроссвордом состоит лишь в большей жесткости (внутренней детерминированности) математического кроссворда. В обычном кроссворде, чтобы считать слово угаданным, мы должны обеспечить его согласование с другими словами в двух или трех точках. В математической теории каждое доказательство представляет собой слово, которое должно совпадать с существующим массивом слов во всех своих точках, т. е. быть истинным во всех своих промежуточных результатах.

Отсюда ясно, что зрелая теория полностью исключает некорректные доказательства. Доказательство имеет шансы содержать некорректное допущение только на той стадии своего развития, пока оно находится на периферии теории и не связано достаточно жестко с другими теоремами. Но по мере своего вызревания любое доказательство погружается в центр теории, в разработанную часть кроссворда, где все его леммы должны стать доказанными теоремами или аксиомами, а все объекты однозначно определенными на основе первичных объектов. Отсюда ясно, что интуитивность выводов и неопределенность объектов в математическом рассуждении — сугубо временное состояние, возможное лишь на начальном этапе его становления.

Аргумент системности представляется, в частности, важным для понимания статуса современных компьютерных доказательств. Многие математики склонны думать, что доказательства математических теорем, осуществленные с использованием сложных программ, не могут считаться надежными и что они, в лучшем случае, могут рассматриваться в качестве гипотез направляющих поиск12. Здесь, однако, упускается из виду то обстоятельство, что надежность доказательства проверяется не только прямым анализом его шагов, но и его согласованностью с другими доказательствами. Учитывая это обстоятельство, можно утверждать, что компьютерная математика также не ограничена в своем движении к надежности. Одна программа может проверять другую и, как и в случае с обычными доказательствами, полная коррекция доказательства потребует лишь конечное число проверок.

Мы можем заключить, что математическое сообщество, в действительности, обладает достаточными критериями абсолютной надежности доказательств. Если общее признание доказательства представляет субъективный (хотя и в высшей степени надежный) критерий такого рода, то включенность доказательства в центр теории, согласованность его с другими доказательствами, является объективным и однозначным критерием.

Математика является абсолютно надежной наукой в том смысле, что теоремы, записанные в учебниках, не имеют шансов быть опровергнутыми.

Вероятностные соображения типа того, что если может заблуждаться один математик, то может заблуждаться на неопределенное время и математическое сообщество в целом, что повторные проверки не способны вывести нас за рамки вероятного результата и т. п., являются неприемлемыми для понимания эволюции математического доказательства. Идеальная математическая схема распределения вероятностей не является законом развития реальных систем. С теоретической точки зрения имеется вероятность того, что все молекулы газа соберутся в одной точке сосуда, но практически этого никогда не произойдет, поскольку молекулы не являются идеально независимыми в своем движении, как это предполагает теория вероятностей. С абстрактно теоретической точки зрения можно допустить, что все человечество с какой-то степенью вероятности может заблуждаться, считая истинным равенство 2 + 2 = 4. Но это допущение не учитывает системности теории. Ошибка в таком равенстве, будь она реальной, должна была бы войти в тысячи других равенств, в бесконечный кроссворд математических слов и остаться при этом незамеченной. Если бы такая ситуация действительно могла иметь место, то ее нельзя было бы считать случайной. Этот факт можно было бы объяснить только наличием некоторой другой системы аподиктических очевидностей, что в принципе исключено их статусом.

Ситуация с достижимостью окончательного доказательства в математической теории может быть сформулирована как задача полной (предельной) настройки в конечной саморегулирующейся системе. Если имеется система с конечным числом состояний, упорядоченных по некоторому параметру, и имеется постоянно действующий фактор, способствующий с преобладающей вероятностью переходу отданного состояния к более высокому, то можно утверждать, что такого рода система достигает предельного (наилучшего) состояния в конечное время. Каждое доказательство содержит в себе конечное число ошибок и его историческое совершенствование может быть представлено в виде конечной последовательности состояний, упорядоченных по возрастанию корректности. Теоретическая коммуникация, в которую доказательство включено, является постоянно действующим фактором, обеспечивающим его переход от одного состояния к более высокому.

В математической теории, как и в любой теории, возможны ошибки, идущие от человека, от ограниченности его внимания и памяти, т. е. здесь происходит обычное движение от несовершенного к более совершенному. Основная особенность математики, отличающая ее от эмпирических наук, состоит в том, что она достигает абсолюта в смысле окончательного установления своих истин и в смысле предельно ясной констатации этого состояния в конкретных случаях.

<< | >>
Источник: Перминов В .Я. . Философия и основания математики - М.: Прогресс- Традиция. — 320с.. 2001

Еще по теме 4. Системность математической теории:

  1. 5. Практическая непротиворечивость математической теории
  2. Экскурс О присвоении наследия философии субъекта (установки системной теории Н. Луманна)
  3. Методологические предпосылки теории системной динамической локализации высших психических функций человека
  4. Базовые категории системного анализа общества. Решающие события в формировании современной теории систем
  5. Основные понятия теории системной динамической локализации в приложении к нейропсихологии детского возраста
  6. 2. Математическая компонента
  7. 1. Завершенность математических понятий
  8. 6. О достоверности математических доказател ьств
  9. 8. Математическая лингвистика
  10. 3. Конечность математических доказательств